Условие задачи
1. На доске написано N простых чисел (не обязательно различных). Оказалось, что сумма любых трех чисел на доске — тоже простое число. При каком наибольшем N это возможно?
2. Вася вырезал из картона треугольник и занумеровал его вершины цифрами 1, 2 и 3. Оказалось, что если Васин треугольник повернуть по часовой стрелке вокруг его вершины под номером 1 на угол равный углу при этой вершине 15 раз, то треугольник вернется в исходное положение. Если повернуть по часовой стрелке Васин
треугольник вокруг его вершины под номером 2 на угол равный углу при этой вершине 6 раз, то треугольник вернется в исходное положение. Вася утверждает, что если повернуть его треугольник вокруг вершины под номером 3 на угол равный углу при этой вершине n раз, то треугольник вернется в исходное положение. Какое
минимальное n мог назвать Вася так, чтобы его утверждение было правдивым хотя бы при каком-то картонном треугольнике
Ответ
1. Рассмотрим остатки при делении на 3 написанных N чисел. Все 3 остатка встречаться не могут, так в этом случае сумма трех чисел с различными остатками будет делиться на 3 (и будет больше 3), поэтому она не будет простым числом. Поэтому возможных остатков не больше 2. Также заметим, что чисел с одинаковым остатком не может быть 3, так как сумма этих трех чисел будет делиться на 3 (и бу...
