Условие задачи
Профессор P наняла преподавателя-ассистента — мистера A. Профессора интересует, сколько часов мистер A будет преподавать, а также сколько она должна ему заплатить. Профессор P желает максимизировать свою функцию прибыли x−w, где x — количество часов, преподаваемых мистером A, а w — заработная плата, которую она ему платит. Если мистер A преподает x часов и получает w, то его полезность равна w − x2/2. Резервная полезность мистера A равна нулю.
(A) Если профессор P выбирает x и w, максимизируя свою полезность при ограничении, что мистер A готов на нее работать, то сколько часов будет преподавать мистер A и сколько ему придется заплатить?
(B) Предположим, что профессор P устанавливает схему заработной платы в форме w(x) = ax + b и позволяет мистеру A выбирать количество часов x. Какие значения a и b следует выбрать профессору P? Удалось бы профессору P достичь более высокого уровня прибыли, если бы она использовала схему w(x) более общей функциональной формы?
Ответ
a. Профессор должен заплатить w = x2 / 2, чтобы заставить ассистента работать x часов. Ее выигрыш составит x x2/2. Это максимизируется там, где x = 1.
b. Мистер А должен получить свою полезность, когда он выбирает оптимальный x. Это означает, что w x2/2 = w1/2 = 0, поэтому w = 1/2.
c. Лучшее, что может сделать профессор, это заставить мистера А работать 1 час и иметь нулевую полезность. Мистер А будет работать до тех пор, пока он не максимизирует:
ax + b x2 / 2. Используя математическое исчисление, мы находим, что мистер А выберет x = a.
Следовательно, он будет работать один час, ...
