Let be the quadratic form defined by the equation (a) Determine whether is positive definite, negative definite, positive or negative semi-definite, or not definite without explicit computations. (b) Formulate a theorem that could be used to address the

Рассмотрим форму q(x)= (x₁ - x₂ + 2x₃)² + (x₁ + x₂ - x₃)².

Шаг 1. Замечаем, что q(x) представлена в виде суммы квадратов двух линейных функций от переменных. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, каждый из слагаемых неотрицателен для любого x.

Шаг 2. Следовательно, для любого вектора x получается q(x) ≥ 0, то есть форма неотрицательно определена (положительно полуопределённая).

Шаг 3. Проверим, существует ли ненулевой вектор x, для которого q(x) = 0. Это возможно, если одновременно выполняются:
  x₁ - x₂ + 2x₃ = 0  (1)
...