Треугольник АВС со сторонами АВ = ВС = 17; АС = 16 вращается вокруг прямой, проходящей через точку С, перпендикулярно прямой АС. Найти площадь поверхности и объём полученного тела вращения.

Для решения задачи о нахождении площади поверхности и объёма тела вращения, полученного при вращении треуг...

Треугольник ABC является равнобедренным, так как AB = BC = 17 и AC = 16. Для нахождения высоты треугольника, проведем высоту из вершины B на сторону AC. Обозначим точку пересечения высоты с AC как D.

Сначала найдем длину отрезка AD. Поскольку треугольник равнобедренный, отрезок AD будет равен половине длины AC:

$$AD = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

Теперь применим теорему Пифагора в треугольнике ABD:

$$AB^2 = AD^2 + BD^2$$

Подставим известные значения:

$$17^2 = 8^2 + BD^2$$

$$289 = 64 + BD^2$$

$$BD^2 = 289 - 64 = 225$$

$$BD = \sqrt{225} = 15$$

Таким образом, высота BD = 15.

При вращении треугольника ABC вокруг прямой, проходящей через C и перпендикулярной AC, образуется конус. Радиус основания конуса равен высоте BD, а высота конуса равна длине AC.

• Радиус основания (r) = BD = 15
• Высота (h) = AC = 16

Площадь поверхности конуса (S) вычисляется по формуле:

$$S = \pi r (r + l)$$

где $l$ — образующая конуса, которую можно найти по формуле:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Подставим значения:

$$l = \sqrt{15^2 + 16^2} = \sqrt{225 + 256} = \sqrt{481}$$

Теперь подставим $r$ и $l$ в формулу для площади:

$$S = \pi \cdot 15 \cdot (15 + \sqrt{481})$$

Объём конуса (V) вычисляется по формуле:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Подставим значения:

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 15^2 \cdot 16$$

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 225 \cdot 16$$

$$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3600$$

$$V = 1200 \pi$$

Таким образом, площадь поверхности тела вращения составляет:

$$S = \pi \cdot 15 \cdot (15 + \sqrt{481})$$

А объём тела вращения равен:

$$V = 1200 \pi$$