Условие задачи
В прошлом году среди студентов университета одного штата 15% происходили не из этого штата. Законодательное собрание штата решило, что штату не следует субсидировать эту категорию студентов, и значительно увеличило плату за обучение. Чтобы оценить влияние этой меры на состав будущего контингента студентов, университет решил проанализировать выборку из адресов лиц, уже подавших заявление о приеме, и проверить, будет ли число студентов, проживающих вне штата, составлять существенно меньше 15%.
а) Каков должен быть размер выборки при α = 0,05 для β = 0,05 относительно π1 = 13%, если общее число заявлений равно 10000?
б) Один из сотрудников университета решил независимо проверить ту же самую информацию. Он взял n = 200, выбрал 200 адресов наугад и насчитал среди них 24 человека, проживающих вне штата.
Проверьте при α = 0,025, будет ли для всех желающих поступить в университет доля проживающих вне данного штата существенно меньше 15%; найдите ошибку второго рода β относительно π1 = 13%; вычислите для найденного π* доверительный интервал.
На основе всех этих данных, как вы ответите на вопрос корреспондента студенческой газеты о том, верно ли, что число студентов из других штатов по сравнению с общим числом студентов существенно понизилось.
Ответ
а) В прошлом году доля студентов, происходивших не из данного штата, составляла 0=15%. Мы проверяем, снизилось ли число иногородних студентов при повышении оплаты, поэтому нас не интересует случай, когда 0. Т.е. рассматривается случай, когда 0, следовательно, используется левосторонний критерий.
При ошибках первого и второго рода, соответственно, =0,05; =0,05; 1=13% объем выборки n находится из соотношения:
