Условие:
На интервале (0,1) наудачу берутся три точки x, y,z . Требуется определить вероятность того, что скалярное произведение вектора a=(x,y,z ) на вектор b=(2,3,1) будет меньше единицы.
Решение:
Для решения задачи начнем с определения скалярного произведения векторов \( \mathbf{a} = (x, y, z) \) и \( \mathbf{b} = (2, 3, 1) \). Скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) ...
Необходимо определить область, удовлетворяющую неравенству \( 2x + 3y + z 1 \) в пределах куба. Это неравенство описывает плоскость в трехмерном пространстве, и мы будем искать объем области, находящейся под этой плоскостью и внутри куба. Плоскость \( 2x + 3y + z = 1 \) пересекает оси координат в следующих точках: - При \( y = 0 \) и \( z = 0 \): \( 2x = 1 \) → \( x = \frac{1}{2} \) (точка \( \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \)) - При \( x = 0 \) и \( z = 0 \): \( 3y = 1 \) → \( y = \frac{1}{3} \) (точка \( \left(0, \frac{1}{3}, 0\right) \)) - При \( x = 0 \) и \( y = 0 \): \( z = 1 \) (точка \( (0, 0, 1) \)) Теперь мы можем определить объем области, удовлетворяющей неравенству \( 2x + 3y + z 1 \). Эта область является тетраэдром с вершинами в точках \( (0, 0, 0) \), \( \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \), \( \left(0, \frac{1}{3}, 0\right) \) и \( (0, 0, 1) \). Для нахождения объема тетраэдра можно использовать формулу: \[ V = \frac{1}{6} \cdot | \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) | \] где \( \mathbf{a} = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \), \( \mathbf{b} = \left(0, \frac{1}{3}, 0\right) \), \( \mathbf{c} = (0, 0, 1) \). Вычислим векторное произведение \( \mathbf{b} \times \mathbf{c} \): \[ \mathbf{b} \times \mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} \\ 0 \frac{1}{3} 0 \\ 0 0 1 \end{vmatrix} = \left(\frac{1}{3}, 0, 0\right) \] Теперь вычислим скалярное произведение: \[ \mathbf{a} \cdot \left(\mathbf{b} \times \mathbf{c}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right) \cdot \left(\frac{1}{3}, 0, 0\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \] Теперь подставим в формулу для объема: \[ V = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \] Объем куба равен 1, следовательно, вероятность того, что скалярное произведение \( 2x + 3y + z 1 \), равна объему тетраэдра: \[ P = V = \frac{1}{36} \] Таким образом, вероятность того, что скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) будет меньше единицы, равна: \[ \boxed{\frac{1}{36}} \]