Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины .

Добавлена: 13.05.2026
Обновлена: 13.05.2026
Предмет: Теория вероятностей
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Теория случайных величин

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины .

Условие:

Непрерывная случайная величина $X$ задана плотностью распределения $f(x)=\frac{2}{9}(x+2), x \in[-2 ; 1]$ . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины $X$ .

Решение:

Проверка нормировки плотности распределения: Убедимся, что $f(x)$ является корректной плотностью вероятности, то есть интеграл от $f(x)$ по всему интервалу равен
$\int_{-2}^{1} f(x) \, dx = \int_{-2}^{1} \frac{2}{9}(x+2) \, dx$
Вычислим интеграл:
$\int (x+2) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2x$
Подставим пределы:
$\left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2) \right)$

$= \left( \frac{1}{2} + 2 \right) - \left( 2 - 4 \right) = \left( \frac{1}{2} + 2 \right) - (-2) = \frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}$
Умножаем на $\frac{2}{9}$ :
$\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2} = 1$
...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какая формула используется для вычисления математического ожидания непрерывной случайной величины X с плотностью распределения f(x) на интервале [a, b]?

E(X) = ∫[a,b] f(x) dx

E(X) = ∫[a,b] x f(x) dx

E(X) = ∫[a,b] x^2 f(x) dx