В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли случайно три шара, а из второй урны – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета.

Для решения задачи найдем вероятность того, что все вынутые шары будут одного цвета. Мы будем рассматривать два случая: когда все шары белые и когда все шары черные.

Шаг 1: Найдем общее количество способов выбрать шары

Из первой урны:
- Всего шаров: 6 белых + 4 черных = 10 шаров.
- Количество способов выбрать 3 шара из 10:
$
C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120.
$

Из вт... - Всего шаров: 5 белых + 7 черных = 12 шаров. - Количество способов выбрать 2 шара из 12: $ C(12, 2) = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66. $

$$120 \times 66 = 7920.$$

• Количество способов выбрать 3 белых шара из 6:

  $$C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20.$$

• Количество способов выбрать 2 белых шара из 5:

  $$C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10.$$

$$20 \times 10 = 200.$$

• Количество способов выбрать 3 черных шара из 4:

  $$C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4.$$

• Количество способов выбрать 2 черных шара из 7:

  $$C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21.$$

$$4 \times 21 = 84.$$

Общее количество способов выбрать шары одного цвета:

$$200 + 84 = 284.$$

Вероятность того, что все шары одного цвета:

$$P = \frac{\text{Количество способов выбрать шары одного цвета}}{\text{Общее количество способов выбрать шары}} = \frac{284}{7920}.$$

Упрощаем дробь:

$$P = \frac{284}{7920} = \frac{71}{1980} \quad (\text{разделив числитель и знаменатель на 4}).$$

Вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета, равна:

$$\frac{71}{1980}.$$