Условие задачи
Пружинный маятник движется по закону:
y''+p(t) y'+q(t)y=0
1) Выясните, почему движение маятника описывается дифференциальным уравнением такого вида. 2) Установите характер данного движения (периодический, апериодический) при данных p(t) и q(t). 3) Изобразите закон движения в системе координат. 4) Убедитесь в линейной независимости фундаментальной системы решений данного ДУ, выпишите вронскиан. 5) Составьте линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) с данной правой частью f(t). Выясните физический смысл функции f (t). 6) Решите ЛНДУ методами вариации произвольной постоянной и неопределённых коэффициентов. Сравните результаты. 7) Получите решение задачи Коши, если y(x0) = a,y'(x0) = b при данных x0,a,b. Выясните физический смысл задачи Коши и её решения.
1. p(t)=4,q(t)=5,f(t)=t2 e2t,x0=0,a=0,b=1.
Ответ
Пружинный маятник это материальная точка, прикрепленная к идеальной (невесомой и подчиняющейся закону Гука) пружине. Основной закон динамики поступательного движения тела описывается 2-м законом Ньютона: F=ma. Обозначим через y вектор смещения тела от положения равновесия. Со стороны пружины на тело действует возвращающая сила, которая согласно закону Гука записывается в виде Fупр=-ky.
Помимо этого, будем считать, что на тело действует сила трения, пропорциональная скорости его движения и направленная в противоположную ей сторону Fтр=-bv. Учитывая, что получаем:
