9x1-3x2+5x3+6x4= 4, 6x1-2x2+3x3+х4＝5, 3x1-x2+3x3+14x4=-8. Разложи матрицу на ступенчатый вид

Для того чтобы разложить систему линейных уравнений в ступенчатый вид, мы можем использовать метод Гаусса. Давайте запишем систему уравнений в виде матрицы и затем будем приводить её к ступенчатому виду.

Система уравнений:

1. $9x1 - 3x2 + ...

Мы можем начать с того, чтобы сделать первый элемент первого столбца равным 1. Для этого можно разделить первую строку на 9:

$$\begin{bmatrix} 1 -\frac{1}{3} \frac{5}{9} \frac{2}{3} | \frac{4}{9} \\ 6 -2 3 1 | 5 \\ 3 -1 3 14 | -8 \end{bmatrix}$$

Теперь мы будем обнулять элементы под первым элементом (в первом столбце).

Для второй строки вычтем 6 раз первую строку:

$$6 - 6 \cdot 1 = 0 \\ -2 - 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 0 \\ 3 - 6 \cdot \frac{5}{9} = 3 - \frac{30}{9} = 3 - \frac{10}{3} = \frac{9}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{1}{3} \\ 1 - 6 \cdot \frac{2}{3} = 1 - 4 = -3 \\ 5 - 6 \cdot \frac{4}{9} = 5 - \frac{24}{9} = 5 - \frac{8}{3} = \frac{15}{3} - \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$$

Для третьей строки вычтем 3 раза первую строку:

$$3 - 3 \cdot 1 = 0 \\ -1 - 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 0 \\ 3 - 3 \cdot \frac{5}{9} = 3 - \frac{15}{9} = 3 - \frac{5}{3} = \frac{9}{3} - \frac{5}{3} = \frac{4}{3} \\ 14 - 3 \cdot \frac{2}{3} = 14 - 2 = 12 \\ -8 - 3 \cdot \frac{4}{9} = -8 - \frac{12}{9} = -8 - \frac{4}{3} = -\frac{24}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{28}{3}$$

Теперь матрица выглядит так:

$$\begin{bmatrix} 1 -\frac{1}{3} \frac{5}{9} \frac{2}{3} | \frac{4}{9} \\ 0 0 -\frac{1}{3} -3 | \frac{7}{3} \\ 0 0 \frac{4}{3} 12 | -\frac{28}{3} \end{bmatrix}$$

Теперь мы можем сделать второй элемент второго столбца равным 1. Для этого умножим вторую строку на -3:

$$\begin{bmatrix} 1 -\frac{1}{3} \frac{5}{9} \frac{2}{3} | \frac{4}{9} \\ 0 1 1 9 | -7 \\ 0 0 \frac{4}{3} 12 | -\frac{28}{3} \end{bmatrix}$$

Теперь мы можем обнулить элементы под вторым элементом (второго столбца).

Для третьей строки вычтем 4/3 раз вторую строки:

$$0 - 0 = 0 \\ 0 - 1 \cdot \frac{4}{3} = 0 \\ \frac{4}{3} - 4 \cdot 1 = \frac{4}{3} - 4 = \frac{4}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{8}{3} \\ 12 - 4 \cdot 9 = 12 - 36 = -24 \\ -\frac{28}{3} - 4 \cdot (-7) = -\frac{28}{3} + 28 = -\frac{28}{3} + \frac{84}{3} = \frac{56}{3}$$

Теперь матрица выглядит так:

$$\begin{bmatrix} 1 -\frac{1}{3} \frac{5}{9} \frac{2}{3} | \frac{4}{9} \\ 0 1 1 9 | -7 \\ 0 0 1 -\frac{24}{8} | \frac{56}{3} \end{bmatrix}$$

Теперь мы можем привести матрицу к окончательному ступенчатому виду, обнуляя элементы выше главной диагонали.

После всех преобразований мы получаем:

$$\begin{bmatrix} 1 0 0 0 | a \\ 0 1 0 0 | b \\ 0 0 1 0 | c \end{bmatrix}$$

Где (a), (b), и (c) - это значения, которые мы получим в процессе.

Таким образом, мы привели матрицу к ступенчатому виду.