Даны четыре вектора a ⃗=(4;5;2), b ⃗=(3;0;1), c ⃗=(-1;4;2), d ⃗=(5;7;8). Показать, что векторы a ⃗, b ⃗, c ⃗ образуют базис и найти координаты вектора d ⃗ в этом базисе.

Три вектора в трёхмерном пространстве образуют базис тогда и только тогда, когда они линейно независимы. Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда матриц составленная из координат векторов имеет ранг, равный числу векторов.

Для нахождения ранга матрицы

элементарными преобразованиями строк приведём её к верхнетреугольному виду.