![Доказать, что функционал в пространстве 𝐶[−1,1] является линейным непрерывным и найти его норму ‖𝐹‖.](/public/images/library/external/library-detail-hero-book.png)
Условие:
Доказать, что функционал
в пространстве 𝐶[−1,1] является линейным непрерывным и найти его норму ‖𝐹‖.
Решение:
Линейность функционала следует из линейности интеграла:
Функционал называется непрерывным тогда и только тогда, когда он переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся:
из 𝑥𝑛 𝑥 следует 𝐹(𝑥𝑛) 𝐹(𝑥) для любой 𝑥𝑛.
На пространстве 𝐶[1,1] сходимость последовательности 𝑥𝑛 𝐶[1,1] означает