Доказать, что в факторгруппе ℚ/ℤ любой элемент имеет конечный порядок и для каждого натурального n имеется ровно одна подгруппа порядка n.

Так как группы ℚ и ℤ аддитивны то элементы факторгруппы ℚ/ℤ имеют вид a + ℤ, где a ℚ, а нейтральным элементом в ней служит подгруппа ℤ.

При этом, так как (a+Z)+(b+Z) = (a+b) + Z, то

для любого n ℕ, а поэтому элемент a + ℤ имеет конечный порядок тогда и только тогда, когда an ℤ.

Поскольку a ℚ, то элемент a можно представить в виде несократимой дроби , где m ℤ, n ℕ и (m, n) = 1, т.е. числа m ...