Используя интегральную теорему Коши, интегральную формулу Коши и обобщенную интегральную формулу Коши, вычислить интеграл , где - замкнутая кусочно-гладкая кривая (контур), в случаях, когда: ) точка лежит внутри области образованной , а точка лежит вне

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций комплексного переменного

Используя интегральную теорему Коши, интегральную формулу Коши и обобщенную интегральную формулу Коши, вычислить интеграл , где - замкнутая кусочно-гладкая кривая (контур), в случаях, когда: ) точка лежит внутри области образованной , а точка лежит вне

Условие:

Используя интегральную теорему Коши, интегральную формулу Коши и обобщенную интегральную формулу Коши, вычислить интеграл $\int_{\Gamma} \frac{z-1}{(z+i)(z+1)^{3}} d z$ , где $\Gamma$ - замкнутая кусочно-гладкая кривая (контур), в случаях, когда:\na) точка $z_{1}=-1$ лежит внутри области образованной $\Gamma$ , а точка $z_{2}=-i$ лежит вне его; б) точка $z_{1}$ лежит вне области образованной $\Gamma$ , а точка $z_{2}$ лежит внутри неё; в) обе точки лежат внутри области; г) обе точки лежат вне области;

Решение:

Мы хотим вычислить интеграл
I = ∮₍Γ₎ (z–1)/[(z + i)(z + 1)³] dz,
где контур Γ – замкнутая кусочно-гладкая кривая. В функции под интегралом имеются два особых точки (полюса):

• z = –1, поскольку (z + 1)³ = 0, – полюс третьего порядка;
• z = –i, поскольку z + i = 0, – простой полюс.

В зависимости от расположения этих точек относительно контура Γ, применяются или интегральная теорема Коши (если особых точек внутри нет), или интегральная формула Коши и её обобщённая версия (если точка – полюс, соответствующего порядка, находится внутри).
<...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое утверждение верно относительно применения интегральной теоремы Коши и интегральных формул Коши для вычисления контурного интеграла функции с несколькими изолированными особыми точками?

Интегральная теорема Коши применяется, если внутри контура находится ровно одна особая точка, а интегральная формула Коши — если внутри контура нет особых точек.

Интегральная теорема Коши применяется, если внутри контура нет особых точек, а интегральные формулы Коши (обычная и обобщенная) — если внутри контура есть одна или несколько особых точек.

Интегральная теорема Коши и интегральные формулы Коши применимы только для функций с простыми полюсами, но не для полюсов более высоких порядков.

Условие:

Решение:

Что нужно знать по теме:

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники

Условие:

Решение:

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники