Составить уравнение касательной в точке соответствующей к графику функции, заданной параметрически уравнениями ,

Условие:

Составить уравнение касательной в точке соответствующей $t=1$ к графику функции, заданной параметрически уравнениями $x=\frac{t}{1+t^{3}}$ ,

y=\frac{t^{2}}{1+t^{3}}

Найти координаты точки касания. Подставим $t=1$ в уравнения для $x$ и $y$ :
$x(1) = \frac{1}{1+1^{3}} = \frac{1}{2}$

$y(1) = \frac{1^{2}}{1+1^{3}} = \frac{1}{2}$
Таким образом, точка касания имеет координаты $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$ .
Найти производные $\frac{dx}{dt}$ и $\frac{dy}{dt}$ . Вычислим производные:
$x = \frac{t}{1+t^{3}} \implies \frac{dx}{dt} = \frac{(1+t^{3}) \cdot 1 - t \cdot 3t^{2}}{(1+t^{3})^{2}} = \frac{1+t^{3}-3t^{3}}{(1+t^{3})^{2}} = \frac{1-2t^{3}}{(1+t^{3})^{2}}$

$y = \frac{t^{2}}{1+t^{3}} \implies \frac{dy}{dt} = \frac{(1+t^{3}) \cdot 2t - t^{2} \cdot 3t^{2}}{(1+t^{3})^{2}} = \frac{2t + 2t^{4} - 3t^{4}}{(1+t^{3})^{2}} = \frac{2t - t^{4}}{(1+t^{3})^{2}}$
...