Найдите главную часть вида бесконечно малой функции при .

Для нахождения главной части функции (\alpha(x)) при (x \to -5), начнем с анализа каждого из ее множителей.

1. Рассмотрим первый множитель: (e^{x+5} - 1). При (x \to -5), (x + 5 \to 0). Используя разложение в ряд Тейлора, мы имеем:

   $$e^{x+5} - 1 \sim (x + 5) + \frac{(x + 5)^2}{2} + O((x + 5)^3).$$
   Таким образом, (e^{x+5} - 1 \sim (x + 5)).

2. Теперь рассмотрим второй множитель: (\ln \frac{x-5}{-10}). При (x \to -5), (x - 5 \to -10), и следовательно:

   $$\ln \frac{x-5}{-10} = \ln \frac{-10}{-10} + \ln \frac{x-5}{-10} = 0 + \ln \frac{x-5}{-10}.$$
   При (x \to -5), (x - 5 \to 0), и (\ln \frac{x-5}{-10} \sim \ln (x + 5) + \ln (-1) = \ln (x + 5) + i\pi). Однако, для главной части нам важен только (\ln (x + 5)), который ведет себя как (\ln (x + 5)).

3. Теперь подставим найденные выражения в (\alpha(x)):

   $$\alpha(x) = (-10)^{13} \cdot \left[(x + 5)\right]^{10} \cdot \left[\ln (x + 5)\right]^{12}.$$
   ...