Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень, и укажите корни уравнения для каждого из найденных значений .

Чтобы решить уравнение

начнем с анализа каждого из слагаемых.

1. Первое слагаемое: (\left(4 a^{2}-17 a+4\right)^{8})

   Это выражение будет равно нулю, если (4 a^{2}-17 a+4 = 0). Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225.$$

   Корни уравнения находятся по формуле:

   $$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 15}{8}.$$

   Таким образом, получаем:

   $$a_1 = \frac{32}{8} = 4, \quad a_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.$$

   Значит, (4 a^{2}-17 a+4 = 0) при (a = 4) и (a = \frac{1}{4}).

2. Второе слагаемое: (\left(4^{x^{2}-x}-4 a\right)^{6})

   Это выражение будет равно нулю, если (4^{x^{2}-x}-4 a = 0), что эквивалентно:

   $$4^{x^{2}-x} = 4 a.$$