1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Найдите все значения параметры а, при каждом из которых...
Разбор задачи

Найдите все значения параметры а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три корня на отрезке .

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Теория функций действительного переменного
Найдите все значения параметры а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три корня на отрезке .

Условие:

Найдите все значения параметры а, при каждом из которых уравнение

sin⁡2x+(a−2)2sin⁡x+a(a−2)(a−3)=0 \sin ^{2} x+(a-2)^{2} \sin x+a(a-2)(a-3)=0

имеет ровно три корня на отрезке [0;2π][0 ; 2 \pi].

Решение:

Чтобы найти значения параметра aa, при которых уравнение

sin⁡2x+(a−2)2sin⁡x+a(a−2)(a−3)=0 \sin ^{2} x + (a-2)^{2} \sin x + a(a-2)(a-3) = 0

имеет ровно три корня на отрезке [0;2π][0 ; 2 \pi], начнем с замены переменной. Обозначим y=sin⁡xy = \sin x. Тогда уравнение можно переписать как:

y2+(a−2)2y+a(a−2)(a−3)=0. y^2 + (a-2)^2 y + a(a-2)(a-3) = 0.

Это квадратное уравнение относительно yy. Чтобы уравнение имело корни, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным:

D=(a−2)4−4⋅1⋅a(a−2)(a−3)≥0. D = (a-2)^4 - 4 \cdot 1 \cdot a(a-2)(a-3) \geq 0.

Посчитаем дискриминант:

D=(a−2)4−4a(a−2)(a−3). D = (a-2)^4 - 4a(a-2)(a-3).

Раскроем скобки:

D=(a−2)4−4a((a−2)(a−3)). D = (a-2)^4 - 4a((a-2)(a-3)).

Теперь упростим вторую часть:

(a−2)(a−3)=a2−5a+6. (a-2)(a-3) = a^2 - 5a + 6.

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие накладывается на корни квадратного уравнения относительно $y = \sin x$, чтобы исходное тригонометрическое уравнение имело ровно три корня на отрезке $[0; 2\pi]$?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники