Условие:
Определите внешний дифференциал внешней дифференциальной формы и сформулируйте его основные свойства. Сформулируйте формулу Стокса для внешних дифференциальных форм. Докажиme её в кубе.
Решение:
Ниже приведён подробный ответ с поэтапным обоснованием.
──────────────────────────────
- Определение внешнего дифференциала
Пусть ω – k‑форма на многообразии M, локально записываемая в виде
ω = Σ₍I₎ f_I dxᵢ₁ ∧ dxᵢ₂ ∧ … ∧ dxᵢₖ,
где I = (i₁, i₂, …, iₖ) – упорядоченные индексы, а f_I – гладкие функции. Тогда внешний дифференциал dω – (k+1)-форма определяется по правилу
dω = Σ₍I₎ df_I ∧ dxᵢ₁ ∧ … ∧ dxᵢₖ,
где df_I – обычный дифференциал функции f_I.
────────────────────────────── 2. Основные свойства внешнего дифференциала
Внешний дифференциал обладает следующими ключевыми свойствами:
...