Пусть количество множеств в семействе равно m, также пусть максимальное перекрытие множеств семейства равно f. Рассмотрим x1, x2, . . . , xm – решение линейной программы. Покажите, что округление xˆi = Ixi>0 также дает f-приближение.

Для решения данной задачи о покрытии множества (Set Cover) и доказательства того, что округление \( \hat{x}_i = I_{x_i 0} \) также дает \( f \)-приближение, мы будем следовать нескольким шагам. ### Шаг 1: Понимание задачи Задача о покрытии множества заключается в том, чтобы выбрать минимальное количество подмножеств из заданного семейства, чтобы покрыть все элементы. Линейная программа (ЛП) для этой задачи может быть записана в следующем виде: \[ \text{minimize} \sum_{i=1}^{m} x_i \] при условиях: \[ \sum_{i: e \in S_i} x_i \geq 1 \quad \forall e \in U \] \[ x_i \geq 0 \quad \forall i \] ...