Разложить в ряд Маклорена функцию. В общем случае разложение в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена.

Найдём производные функции f (x)=eх и вычислим их при x0=0 :Значит, В результате, получаем ряд: (1)Покажем, что полученный ряд сходится к функции f (x)=eх . Найдём интервалсходимости степенного ряда (1):следовательно, ряд (1) абсолютно сходится на всей числовой прямой.Докажем теперь, что функция eх сумма ряда (3.25). Остаточный членгде число лежит между 0 и x . Отсюда следует, что (2)Так как ряд (1) сходится, то используя необходимый признак сходимости ряда (теорема Абеля), можно записать: , тогда и Поэтому, переходя к пределу в неравенстве (2) при , получаем, чтопри любом x и, следовательн...