Условие задачи
1. В последовательности квадратных трехчленов 
где a – целое число, некоторые два имеют общий корень. Докажите, что все эти трёхчлены имеют корни, и все эти корни - целые числа.
2. На стороне треугольника взяты четыре точки К, Р, Н и М, являющиеся соответственно серединой этой стороны, концом биссектрисы противоположного угла треугольника, точкой касания с этой стороной вписанной в треугольник окружности и основанием соответствующей высоты. Найти КН, если КР = а , КМ = b.
Ответ
1. Пусть трехчлены 
имеют общий корень x0. Тогда После тождественных преобразований, получим Но m n 0, поэтому то есть x = 1. Подставляя корень в квадратное уравнение, получаем: откуда b = a1 (целое число). Значит, данные квадратные уравнения имеют вид: Все такие уравнения имеют целые корни:
