1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Векторы взаимно перпендикулярны, они одинаковой длины:...
Разбор задачи

Векторы взаимно перпендикулярны, они одинаковой длины: 6 см. Определи скалярное произведение векторов , которые выражены следующим образом:

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Векторы взаимно перпендикулярны, они одинаковой длины: 6 см. Определи скалярное произведение векторов , которые выражены следующим образом:

Условие:

Векторы u⃗иn⃗\vec{u} и \vec{n} взаимно перпендикулярны, они одинаковой длины: 6 см. Определи скалярное произведение векторов a⃗иb⃗\vec{a} и \vec{b}, которые выражены следующим образом: $

a⃗=3⋅u⃗−4⋅n⃗,b⃗=3⋅u⃗+2⋅n⃗a⃗⋅b⃗=□\begin{array}{l} \vec{a}=3 \cdot \vec{u}-4 \cdot \vec{n}, \vec{b}=3 \cdot \vec{u}+2 \cdot \vec{n} \\ \vec{a} \cdot \vec{b}=\square \end{array}

$

Решение:

Для нахождения скалярного произведения векторов a⃗\vec{a} и b⃗\vec{b}, сначала подставим их выражения:

a⃗=3⋅u⃗−4⋅n⃗ \vec{a} = 3 \cdot \vec{u} - 4 \cdot \vec{n}
b⃗=3⋅u⃗+2⋅n⃗ \vec{b} = 3 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{n}

Теперь вычислим скалярное произведение a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}:

a⃗⋅b⃗=(3⋅u⃗−4⋅n⃗)⋅(3⋅u⃗+2⋅n⃗) \vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \cdot \vec{u} - 4 \cdot \vec{n}) \cdot (3 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{n})

Используем распределительное свойство скалярного произведения:

a⃗⋅b⃗=3⋅u⃗⋅(3⋅u⃗)+3⋅u⃗⋅(2⋅n⃗)−4⋅n⃗⋅(3⋅u⃗)−4⋅n⃗⋅(2⋅n⃗) \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot \vec{u} \cdot (3 \cdot \vec{u}) + 3 \cdot \vec{u} \cdot (2 \cdot \vec{n}) - 4 \cdot \vec{n} \cdot (3 \cdot \vec{u}) - 4 \cdot \vec{n} \cdot (2 \cdot \vec{n})

Теперь вычислим каждое из слагаемых:

  1. 3⋅u⃗⋅(3⋅u⃗)=9⋅(u⃗⋅u⃗)3 \cdot \vec{u} \cdot (3 \cdot \vec{u}) = 9 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{u})
  2. 3⋅u⃗⋅(2⋅n⃗)=6⋅(u⃗⋅n⃗)3 \cdot \vec{u} \cdot (2 \cdot \vec{n}) = 6 \cdot (\vec{u} \cdot \vec{n})
  3. −4⋅n⃗⋅(3⋅u⃗)=−12⋅(n⃗⋅u⃗)-4 \cdot \vec{n} \cdot (3 \cdot \vec{u}) = -12 \cdot (\vec{n} \cdot \vec{u})
  4. −4⋅n⃗⋅(2⋅n⃗)=−8⋅(n⃗⋅n⃗)-4 \cdot \vec{n} \cdot (2 \cdot \vec{n}) = -8 \cdot (\vec{n} \cdot \vec{n})

Так как векторы u⃗\vec{u} и n⃗\vec{n} взаимно перпендикулярны, то u⃗⋅n⃗=0\vec{u} \cdot \vec{n} = 0. Также длина векторов равна 6 см, следовательно:

u⃗⋅u⃗=62=36 \vec{u} \cdot \vec{u} = 6^2 = 36

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство скалярного произведения векторов является ключевым для упрощения вычислений в данной задаче?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники