Запишите вид частного решения уравнения y^''+y^'=f(x), если 1) f(x)=sin⁡x+cos⁡x; 2) f(x)=e^x sin⁡2x; 3) f(x)=e^x; 4) f(x)=xe^x; 5) f(x)=5 cos⁡x-x^2. Выпишем и решим соответствующее однородное уравнение

Выпишем и решим соответствующее однородное уравнение

y'' + y = 0.

Характеристическое уравнение k² + 1 = 0 имеет корни:

k₁ = -i; k₂ = i.

Частные решения однородного уравнения имеют вид:

y₁ = e^{0 ∙ x} cos⁡(-x) = cos ⁡x, y₂ = e^{0 ∙ x} sin ⁡x = sin ⁡x.

Поэтому общий интеграл соответствующего однородного уравнения есть

Найдем вид частного решения неоднородного уравнения:

1) y'' + y = sin⁡ x + cos ⁡x...