База задач по геометрии

Даны вершины пирамиды  . Найти:

а) угол между гранями ABC и ABD;

б) каноническое и параметрические уравнения прямой CD;

в) уравнение плоскости параллельной плоскости ABС, проходящей через точку D;

г) каноническое уравнение высоты пирамиды.

Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2,2,2), В(4,3,3), С(4,5,4), D(5,5,6).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж и заштриховать искомую площадь.

Даны вершины A(–2; –3), B(0; 2), C(3; –3) треугольника ABC. Найти

1) уравнения сторон треугольника и их длины;

2) величину внутреннего угла A в радианах с точностью до 0,01;

3) уравнение медианы, проведенной из вершины A;

4) точку пересечения медиан треугольника;

5) уравнение высоты, проведенной через вершину A;

6) длину высоты, проведенной через вершину A. Сделать чертеж.

 Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

Даны вершины треугольника  

Найти:

1) длину стороны

2) уравнение стороны  

3) уравнение высоты   и ее длину;

4) уравнение окружности, для которой высота   является диаметром.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами AB = 12 см и BC = 16 см (см. рис.). Высота призмы равна 15 см.

а) Найдите объём данной призмы. 

б) Постройте сечение, проходящее через ребро BB₁ и середину стороны AC. Укажите название фигуры, которая является сечением. 

в) Найдите площадь этого сечения. 

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4;-1), а также уравнения высоты 2x-3y+12=0, медианы 2x+3y=0.

Даны две смежные вершины параллелограмма В(3,-4), С(2,-3) и точка пересечения диагоналей М(-2,0). Найти другие вершины.

Высота цилиндра равна 8 см, а площадь его боковой поверхности втрое меньше площади его полной поверхности. Найти объем цилиндра.

Дано: Сила F расположена в одной из граней прямоугольного параллелепипеда.

Модуль силы F, углы α и β следует считать известными.

Чему равна проекция силы F на ось u ?

Выберите один ответ:

 a. Fu=cosα*sinβ

 b. Fu=-cosα*cosβ

 c. Fu=-sinα*cosβ

 d. Fu=sinα*sinβ

Стороны AB, AC равнобедренного треугольника ABC равны 5 см и лежат в двух перпендикулярных плоскостях. Точки B, C удалены от прямой пересечения плоскостей на 4  см.

Найти площадь треугольника.

В параллелограмме KLMN каждый из углов LKM и MNL равен 57°. Определите, является ли параллелограмм прямоугольником.

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Для эллипса найти координаты вершин и фокусов, для гиперболы – координаты вершин, фокусов и уравнения асимптот, для параболы – координаты фокуса и уравнение директрисы, для окружности – координаты центра и радиус. Сделать чертеж.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. 

Найти:

1. уравнения  ребер АВ, АС и AD;

2. уравнение грани ABC;

3. уравнения и длину высоты DH, опущенной из вершины D на грань ABC;

4. уравнение плоскости, проходящей через вершину D параллельно грани АВС.

A(3, –2, 3), B(0, 1, 2), C(5, 1, 0), D(7, 2, 8).

Даны вершины треугольника 𝐴(3,2,−3),𝐵(5,1,−1) и 𝐶(1,−2,1).

Найти внутренний угол при вершине 𝐴.

Даны уравнения двух сторон треугольника 5х–4у+15=0 и 4х+у–9=0. Его медианы пересекаются в точке Р(0; 2). Составить уравнение третьей стороны треугольника. Сделать чертеж.

Найти угол между прямой

и плоскостью

Рёбра AD и BC тетраэдра DABC равны   см и 4 см соответственно, а угол между прямыми AD и BC равен 30°.

Найдите расстояние между серединами рёбер AC и BD.

Вычислите площадь осевого сечения, площадь полной поверхности и объем конуса, если его радиус равен 4 см, а образующая 5 см.

Вычислить площадь полной поверхности и объём треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 13 см, 14 см и 15 см, а боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов.

Даны вершины треугольника АВС.  А (–7; 1), В (5; -8), С (3; 6).

Найти: 

1) длину стороны АВ; 

2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;

3) угол А в радианах; 

4) уравнение высоты СD и ее длину; 

5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр; 

6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми.

 y²=4ax+4a²; x+y=2a (a>0)

Сфера, радиус которой равен 13 см, пересечена плоскостью. Расстояние от центра сферы до этой плоскости равно 12 см.

Найдите радиус окружности, получившейся в сечении.