Плотность распределения f(х) случайной величины X на (a, b) задана в таблице, а при х не принадлежащим (a, b) f(x) = 0. Требуется: 1) найти параметр A; 2) построить графики плотности и функции распределения; 3) найти математическое ожидание М(Х),

Чтобы решить задачу, давайте пройдемся по каждому пункту по порядку.

1) Найти параметр A

Плотность распределения $f(x)$ должна удовлетворять условию нормировки, то есть интеграл от $f(x)$ по всему интервалу $(a, b)$ должен равняться 1:

$
\int_a^b f(x) \, dx = 1
$

Подставим $f(x) = 3x^2 + A$ и пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 1$:

$
\int_0^1 (3x^2 + A) \, dx = 1
$

Теперь вычислим интеграл:

$
\int0^1 3x^2 \, dx + \int0^1 A \, dx = 1
$

Первый интеграл:

$
\int0^1 3x^2 \, dx = 3 \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]0^1 = 3 \cdot \frac{1^3}{3} - 3 \cdot \frac{0^3}{3} = 1
$

Второй интеграл:

$
\int0^1 A \, dx = A \cdot [x]0^1 = A \cdot (1 - 0) = A
$

Теперь подставим результаты в уравнение:

$
1 + A = 1
$

Отсюда:

$
A = 0
$

2) Построить графики плотности и функци...

Теперь, когда мы знаем, что $A = 0$, плотность распределения становится:

$$f(x) = 3x^2$$

Для построения графика плотности $f(x)$ на интервале $(0, 1)$:

• $f(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$
• $f(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$

Теперь построим график функции распределения $F(x)$:

$$F(x) = \int0^x 3t^2 \, dt = 3 \cdot \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^x = x^3$$

Таким образом, график функции распределения будет:

• $F(0) = 0$
• $F(1) = 1$

$$M(X) = \int0^1 x (3x^2) \, dx = \int0^1 = 3 \cdot \frac{1^4}{4} = \frac{3}{4}$$

$$D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$$

Сначала найдем $M(X^2)$:

$$M(X^2) = \int0^1 x^2 (3x^2) \, dx = \int0^1 = 3 \cdot \frac{1^5}{5} = \frac{3}{5}$$

Теперь подставим в формулу для дисперсии:

$$D(X) = \frac{3}{5} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3}{5} - \frac{9}{16}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$D(X) = \frac{48}{80} - \frac{45}{80} = \frac{3}{80}$$

$$\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\frac{3}{80}} \approx 0.193$$

Задано $\varepsilon = \frac{1}{2}$. Мы ищем:

$$P(|X - M(X)| \leq \varepsilon) = P\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \leq X \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{2}\right)$$

Это означает:

$$P\left(0.25 \leq X \leq 1.25\right)$$

Так как $X$ ограничена интервалом $(0, 1)$:

$$P(0.25 \leq X \leq 1) = F(1) - F(0.25) = 1 - (0.25)^3 = 1 - 0.015625 = 0.984375$$

Таким образом, вероятность $P$ равна:

$$P \approx 0.984375$$

1. $A = 0$
2. Графики плотности и функции распределения построены.
3. $M(X) = \frac{3}{4}$, $D(X) = \frac{3}{80}$, $\sigma \approx 0.193$
4. $P \approx 0.984375$