Дано натуральное число N. Вычислить:

Условие:

\frac{\cos 1}{\sin 1} \times \frac{\cos 1+\cos 2}{\sin 1+\sin 2} \times \cdots \times \frac{\cos 1+\cos 2+\cdots+\cos N}{\sin 1+\sin 2+\cdots+\sin N}

Рассмотрим выражение, которое нам нужно вычислить:

P = \frac{\cos 1}{\sin 1} \times \frac{\cos 1 + \cos 2}{\sin 1 + \sin 2} \times \cdots \times \frac{\cos 1 + \cos 2 + \cdots + \cos N}{\sin 1 + \sin 2 + \cdots + \sin N}

Каждый множитель в этом произведении имеет вид:

\frac{\sum_{k=1}^{m} \cos k}{\sum_{k=1}^{m} \sin k}

где $m$ изменяется от 1 до $N$ .

Теперь рассмотрим сумму косинусов и сумму синусов:

S_m = \sum_{k=1}^{m} \cos k

T_m = \sum_{k=1}^{m} \sin k

Существует формула для суммы косинусов и синусов:

S_m = \frac{\sin\left(\frac{m}{2}\right) \cos\left(\frac{m+1}{2}\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\right)}

T_m = \frac{\sin\left(\frac{m}{2}\right) \sin\left(\frac{m+1}{2}\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\right)}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой тригонометрической функцией выражается каждый множитель в произведении вида $\frac{\sum_{k=1}^{m} \cos k}{\sum_{k=1}^{m} \sin k}$?

Тангенсом $\tan\left(\frac{m+1}{2}\right)$

Котангенсом $\cot\left(\frac{m+1}{2}\right)$

Синусом $\sin\left(\frac{m+1}{2}\right)$