Условие задачи
Функция Аккермана.
Определим последовательность одноместных функций Fn: N→ N, n ∈ N следующим образом:
F0(x) = x + 1;
Fn+1(x) = Fn(Fn(…Fn(1)…)),
где справа функция Fn применяется x + 1 раз.
Докажите:
1) F1(x + 1 ) = F0(F1(x));
2) Fn+1(x + 1 ) = Fn(Fn+1(x));
3) F1(x) = x + 2;
4) F2(x) = 2x + 3;
5) F3(x) = 2x + 3 – 3;
6) F4(x) = 
Ответ
1. Имеем в силу равенства Fn+1(x) = Fn(Fn(Fn(1))):
Поэтому получаем F1(x + 1 ) = F0(F1(x)).
2. Проводим математическую индукцию по n. Базис индукции для n = 0 доказан в пункте 1). Для доказательства индуктивного перехода предположим, что для n = k выполнено Fk+1(x + 1 ) = Fk(Fk+1(x)). Имеем в силу равенства Fn+1(x) = Fn(Fn(Fn(1))):
Потяни
