1. Главная
  2. Библиотека
  3. Высшая математика
  4. Сколько существует значений параметра , при каждом из к...
Разбор задачи

Сколько существует значений параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень?

  • Предмет: Высшая математика
  • Автор: Кэмп
  • #Математический анализ
  • #Теория функций действительного переменного
Сколько существует значений параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень?

Условие:

Сколько существует значений параметра aa, при каждом из которых уравнение

log⁡x+2−x2(ax3−3ax2+2ax+1)=2 \log _{\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}}\left(a x^{3}-3 a x^{2}+2 a x+1\right)=2

имеет ровно один корень?

Решение:

Для решения задачи начнем с уравнения:

log⁡x+2−x2(ax3−3ax2+2ax+1)=2 \log _{\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}}\left(a x^{3}-3 a x^{2}+2 a x+1\right)=2

Это уравнение можно переписать в экспоненциальной форме:

ax3−3ax2+2ax+1=(x+2−x2)2 a x^{3}-3 a x^{2}+2 a x+1 = \left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}\right)^{2}

Теперь упростим правую часть уравнения:

(x+2−x2)2=x+2−x+2x(2−x)2=2+2x(2−x)2=1+x(2−x) \left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}\right)^{2} = \frac{x + 2 - x + 2\sqrt{x(2-x)}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{x(2-x)}}{2} = 1 + \sqrt{x(2-x)}

Таким образом, уравнение принимает вид:

ax3−3ax2+2ax+1=1+x(2−x) a x^{3}-3 a x^{2}+2 a x+1 = 1 + \sqrt{x(2-x)}

Переносим все в одну сторону:

ax3−3ax2+2ax+1−1−x(2−x)=0 a x^{3}-3 a x^{2}+2 a x + 1 - 1 - \sqrt{x(2-x)} = 0

Упростим:

ax3−3ax2+2ax−x(2−x)=0 a x^{3}-3 a x^{2}+2 a x - \sqrt{x(2-x)} = 0

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно области определения уравнения $\log _{\frac{\sqrt{x}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}}}\left(a x^{3}-3 a x^{2}+2 a x+1\right)=2$?

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Алгоритм решения

Топ 3 ошибок

Что спросит препод

Похожие задачи

Похожие задачи

Не нашел нужную задачу?Воспользуйся поиском

AI помощники