Условие задачи
Точка М движется в плоскости xy согласно заданным уравнениям x = x(t) и y = y(t), где x и y выражены в сантиметрах, t – в секундах.
Дано:
х=х(t) = 2sin(πt/3), (1),
у=у(t) = - 3cos((πt/3) + 4, (2),
t = 2,0
Требуется: Найти уравнение траектории точки для обозначенного момента времени t, с, определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Построить в масштабе чертеж траектории, указать положение точки М и все вектора.
Ответ
1. Для определения уравнения траектории точки исключаем из уравнений (1) и (2)
время t. Из уравнения (1), имеем:
sin(t/3) = х/2, (3),
из уравнения (2), получаем:
cos((t/3) = (4- у)/3, (4).
Используем известную из тригонометрии формулу:
sin2 + cos2 = 1, в соответствии с которой получаем:
(х/2)2 + (4- у)2/9 = 1, или х2/22 + (у - 4)2/32 = 1, (5)
это уравнение эллипса, центр которого имеет координаты: х0 = 0, у0 = 4, величина полуоси по х, равна, а=2см, величина по оси у равна: b= 3 см.
Координаты точки в момент времени t=0, равны: х0 = 2sin(0/3) = 0,
у0 = - 3cos((0/3) + 4 = -31 + 4 = 1,0 см.
Коо...
