Разбор задачи

Basic properties of growth rates. Use the fact that the growth rate of a variable equals the time derivative of its log to show:

Условие:

Дано: Темп роста переменной $V(t)$ определяется как:

\text{Growth Rate}(V) = \frac{\dot{V}(t)}{V(t)} = \frac{d}{dt} \left( \ln|V(t)| \right)

Найти: Требуется доказать три свойства темпа роста для функций произведения, частного и степенной функции.

Условие: $Z(t) = X(t)Y(t)$ . Требуется доказать: $\frac{\dot{Z}(t)}{Z(t)} = \frac{\dot{X}(t)}{X(t)} + \frac{\dot{Y}(t)}{Y(t)}$ .

Шаг 1: Логарифмируем $Z(t)$

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

\ln|Z(t)| = \ln|X(t)Y(t)|

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство логарифма является ключевым для доказательства правила темпа роста произведения двух функций, $Z(t) = X(t)Y(t)$?

Свойство логарифма степени: $\ln(a^b) = b \ln a$

Свойство логарифма произведения: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$

Свойство логарифма частного: $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$