Найдите частотную характеристику фильтра, обеспечивающего получение максимального отношения сигнал/шум на выходе фильтра, если сигнал представляет собой прямоугольный видеоимпульс длительностью 200 мкс, а шум имеет корреляционную функцию

Мы хотим определить оптимальный фильтр по критерию максимального отношения сигнал/шум (SNR) на выходе. Из теории оптимальных приёмников (теорема о матчинге фильтре в наличии аддитивного гауссовского шума) известно, что оптимальный фильтр имеет частотную характеристику, пропорциональную спектру сигнала, взятому с комплексно сопряжённым, делённому на спектральную плотность шума. То есть

  H_opt(f) = k · S*(f)/N(f), (1)

где S(f) – преобразование Фурье сигнала, N(f) – спектральная плотность шума, S*(f) – комплексно сопряжённое преобразование Фурье сигнала, а k – произвольная (безразмерная) постоянная, которая определяется вопросом (например, нормировкой).

Ниже пошагово разберём решение.

──────────────────────────────

1. Определим спектр сигнала S(f)
   
   Сигнал дан в виде прямоугольного видеоимпульса длительностью T = 200 мкс. Можно принять, что его амплитуда равна A (чаще A = 1, если не задано иное). Тогда сигнал в момент времени можно записать как
   
     s(t) = A · rect((t – T/2)/T), где rect(t/T) = 1 при 0 < t < T и 0 иначе.
   
   Преобразование Фурье прямоугольного импульса (при классическом определении, без дополнительных нормировок) равно
   
     S(f) = A · T · sinc (fT) · exp[–jπfT], (2)
   
   где функция sinc(x) определяется как sinc(x) = sin(πx)/(πx). (Фактор экспоненты возникает при сдвиге по времени; его можно не учитывать при выборе фильтра, поскольку оптимальность определяется по модулю спектра.)
   
   Таким образом, можно записать:
     S(f) = A · 200·10^(–6) · sinc (200·10^(–6)·f) · exp[–jπf·200·10^(–6)].
   
   ──────────────────────────────
   
2. Определим спектральную плотность шума N(f)
   
   Дан шум с корреляционной функцией
     R(τ) = 0,2 · exp(–2·10^4·|τ|) (B²).
   Важно заметить, что для существования конечной спектральной плотности и корректной автокорреляционной функции экспонента должна затухать, и поэтому в показателе должен быть отрицательный знак (в условии, возможно, опущен знак «–»). Примем, что
     R(τ) = 0,2 · exp(–2·10^4·|τ|).
   
   Из теории случайного процесса известно, что спектральная плотность определяется преобразованием Фурье автокорреляционной функции. При наличии функции вида exp(–α|τ|) справедлива формула
   
     ∫_...