Вычислить концентрацию частиц дыма на высоте 1 m , если на исходном уровне их концентрация была . Средний радиус частиц м; плотность ; плотностью воздуха можно пренебречь.

В данной задаче нам нужно найти концентрацию частиц дыма на некоторой высоте $h$, предполагая, что рассеивание происходит за счет броуновского движения (диффузии) в вертикальном направлении.

1. Дано

• Концентрация на исходном уровне ($h_0 = 0$): $C_0 = 1,5 \cdot 10^{-3} \mathrm{кг} / \mathrm{м}^{3}$
• Высота, на которой ищем концентрацию: $h = 1 \mathrm{~m}$
• Средний радиус частиц дыма: $r = 1 \cdot 10^{-8} \mathrm{~м}$
• Плотность частиц дыма: $\rho = 1,2 \cdot 10^{3} \mathrm{кг} / \mathrm{м}^{3}$
• Температура: $T = 290 \mathrm{~K}$
• Постоянная Больцмана: $k_B \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \mathrm{~Дж} / \mathrm{K}$ (необходимо для формулы)
• Ускорение свободного падения: $g \approx 9,81 \mathrm{~м} / \mathrm{с}^{2}$

2. Найти

Концентрация частиц дыма $C(h)$ на высоте $h = 1 \mathrm{~m}$.

3. Решение

Для описания стационарного распределения концентрации частиц, подверженных броуновскому движению и силе тяжести (оседанию), используется барометрическая формула, модифицированная с учетом потенциальной энергии частиц.

Концентрация $C(z)$ на высоте $z$ связана с концентрацией на исходном уровне $C_0$...