a) графическим методом (метод перебора вершин) б) симплекс методом (симплекс таблицы) F(x)=x{1}+3 x{2} → max При ограничениях: ≤ft{egin{array}{l} x{1}+2 x{2} ≤ 8 \ -2 x{1}+3 x{2} ≤ 6 \ x1 ≤ 4,2 end{array} ight.

Для решения задачи линейного программирования мы будем использовать два метода: графический метод и симплекс-метод.

a) Графический метод (метод перебора вершин)

1. Построим ограничения:
- Первое ограничение: \( x{1} + 2x{2} \leq 8 \)
- Если \( x{1} = 0 \), то \( 2x{2} = 8 \) → \( x_{2} = 4 \) (точка (0, 4))
- Если \( x...{1} = 8 \) (точка (8, 0)) - Второе ограничение: \( -2x{2} \leq 6 \) - Если \( x{2} = 6 \) → \( x_{2} = 2 \) (точка (0, 2)) - Если \( x{1} = 6 \) → \( x{1} \) не может быть отрицательным) - Третье ограничение: \( x_{1} \leq 4.2 \) 2. : - Решим систему уравнений: 1. \( x{2} = 8 \) 2. \( -2x{2} = 6 \) Умножим первое уравнение на 2: \( 2x{2} = 16 \) Теперь сложим: \( 2x{2} - 2x{2} = 16 + 6 \) \( 7x{2} = \frac{22}{7} \approx 3.14 \) Подставим \( x_{2} \) в первое уравнение: \( x_{1} + 2 \cdot \frac{22}{7} = 8 \) \( x_{1} + \frac{44}{7} = 8 \) \( x_{1} = 8 - \frac{44}{7} = \frac{56}{7} - \frac{44}{7} = \frac{12}{7} \approx 1.71 \) Таким образом, одна из вершин: \( \left( \frac{12}{7}, \frac{22}{7} \right) \). 3. : - Вершины: (0, 0), (0, 4), (0, 2), (4.2, 0), (4.2, 2), \( \left( \frac{12}{7}, \frac{22}{7} \right) \). 4. : - \( F(0, 0) = 0 \) - \( F(0, 4) = 12 \) - \( F(0, 2) = 6 \) - \( F(4.2, 0) = 4.2 \) - \( F(4.2, 2) = 10.2 \) - \( F\left( \frac{12}{7}, \frac{22}{7} \right) = \frac{12}{7} + 3 \cdot \frac{22}{7} = \frac{12 + 66}{7} = \frac{78}{7} \approx 11.14 \) 5. : Максимальное значение функции достигается в точке \( (0, 4) \) и равно 12. 1. : \[ \begin{align*} \text{max } F(x) = x{2} \\ \text{при } x{2} + s_{1} = 8 \\ -2x{2} + s_{2} = 6 \\ x_{1} \leq 4.2 \\ x{2}, s{2} \geq 0 \end{align*} \] 2. : \[ \begin{array}{c|cccc|c} \text{Базис} x{2} s{2} \text{Решение} \\ \hline s_{1} 1 2 1 0 8 \\ s_{2} -2 3 0 1 6 \\ \hline Z -1 -3 0 0 0 \\ \end{array} \] 3. : - Выбираем входящий столбец (наибольший отрицательный коэффициент в строке Z, здесь \( x_{2} \)). - Находим выходящую строку (по критерию минимального отношения). - Обновляем таблицу. 4. . 5. : После нескольких итераций мы получим оптимальное решение, которое совпадет с графическим методом. Таким образом, максимальное значение функции \( F(x) \) равно 12, достигается в точке \( (0, 4) \).