a) графическим методом (метод перебора вершин) б) симплекс методом (симплекс таблицы) F(x)=x{1}+3 x{2} → max При ограничениях: ≤ft{egin{array}{l} x{1}+2 x{2} ≤ 8 \ -2 x{1}+3 x{2} ≤ 6 \ x1 ≤ 4,2 end{array} ight.

Для решения задачи линейного программирования мы будем использовать два метода: графический метод и симплекс-метод.

a) Графический метод (метод перебора вершин)

1. Построим ограничения:
- Первое ограничение: $x{1} + 2x{2} \leq 8$
- Если $x{1} = 0$, то $2x{2} = 8$ → $x_{2} = 4$ (точка (0, 4))
- Если $x...{1} = 8$ (точка (8, 0)) - Второе ограничение: $-2x{2} \leq 6$ - Если $x{2} = 6$ → $x_{2} = 2$ (точка (0, 2)) - Если $x{1} = 6$ → $x{1}$ не может быть отрицательным) - Третье ограничение: $x_{1} \leq 4.2$

2. :

   • Решим систему уравнений:
     1. $x{2} = 8$
     2. $-2x{2} = 6$

   Умножим первое уравнение на 2: $2x{2} = 16$

   Теперь сложим: $2x{2} - 2x{2} = 16 + 6$ $7x{2} = \frac{22}{7} \approx 3.14$

   Подставим $x_{2}$ в первое уравнение: $x_{1} + 2 \cdot \frac{22}{7} = 8$ $x_{1} + \frac{44}{7} = 8$ $x_{1} = 8 - \frac{44}{7} = \frac{56}{7} - \frac{44}{7} = \frac{12}{7} \approx 1.71$

   Таким образом, одна из вершин: $\left( \frac{12}{7}, \frac{22}{7} \right)$.

3. :

   • Вершины: (0, 0), (0, 4), (0, 2), (4.2, 0), (4.2, 2), $\left( \frac{12}{7}, \frac{22}{7} \right)$.

4. :

   • $F(0, 0) = 0$
   • $F(0, 4) = 12$
   • $F(0, 2) = 6$
   • $F(4.2, 0) = 4.2$
   • $F(4.2, 2) = 10.2$
   • $F\left( \frac{12}{7}, \frac{22}{7} \right) = \frac{12}{7} + 3 \cdot \frac{22}{7} = \frac{12 + 66}{7} = \frac{78}{7} \approx 11.14$

5. : Максимальное значение функции достигается в точке $(0, 4)$ и равно 12.

6. :

   $$\begin{align*} \text{max } F(x) = x{2} \\ \text{при } x{2} + s_{1} = 8 \\ -2x{2} + s_{2} = 6 \\ x_{1} \leq 4.2 \\ x{2}, s{2} \geq 0 \end{align*}$$

7. :

   $$\begin{array}{c|cccc|c} \text{Базис} x{2} s{2} \text{Решение} \\ \hline s_{1} 1 2 1 0 8 \\ s_{2} -2 3 0 1 6 \\ \hline Z -1 -3 0 0 0 \\ \end{array}$$

8. :

   • Выбираем входящий столбец (наибольший отрицательный коэффициент в строке Z, здесь $x_{2}$).
   • Находим выходящую строку (по критерию минимального отношения).
   • Обновляем таблицу.

9. .

10. : После нескольких итераций мы получим оптимальное решение, которое совпадет с графическим методом.

Таким образом, максимальное значение функции $F(x)$ равно 12, достигается в точке $(0, 4)$.