Задание 1. Модель парной линейной регрессии. Имеются данные за 7 лет относительно среднего дохода (млн. руб., х) и среднего потребения (м.Iн. руб., у). Задания 1. Построить поле корреляции и рассчитать коэффициенты линейного уравнения парной регрессии у

Для решения данной задачи, мы будем следовать шаг за шагом, начиная с построения модели парной линейной регрессии.

Шаг 1: Построить поле корреляции и рассчитать коэффициенты линейного уравнения парной регрессии $y$ на $x$.

Сначала мы соберем данные и рассчитаем необходимые суммы для вычисления коэффициентов линейной регрессии.

Данные:
$
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Годы} x y \\
\hline
91 14,56 12 \\
92 15,7 12,7 \\
93 16,3 13 \\
94 18,5 15,5 \\
95 20,34 16,7 \\
96 21,7 17,3 \\
97 23,5 20 \\
\hline
\end{array}
$

Сначала рассчитаем средние значения $\bar{x}$ и $\bar{y}$:
$
\bar{x} = \frac{14,56 + 15,7 + 16,3 + 18,5 + 20,34 + 21,7 + 23,5}{7} = \frac{130,6}{7} \approx 18,66
$
$
\bar{y} = \frac{12 + 12,7 + 13 + 15,5 + 16,7 + 17,3 + 20}{7} = \frac{107,2}{7} \approx 15,34
$

Теперь рассчитаем коэффициенты регрессии $b1$ и $b0$:
$
b1 = \frac{\sum (xi - \bar{x})(yi - \bar{y})}{\sum (xi - \bar{x})^2}
$
$
b0 = \bar{y} - b1 \bar{x}
$

Сначала найдем $\sum (xi - \bar{x})(yi - \bar{y})$ и $\sum (x_i - \bar{x})^2$.

Для этого создадим таблицу:

$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x y x - \bar{x} y - \bar{y} (x - \bar{x})(y - \bar{y}) \\
\hline
14,56 12 -4,1 -3,34 13,694 \\
15,7 12,7 -2,96 -2,64 7,7984 \\
16,3 13 -2,36 -2,34 5,5144 \\
18,5 15,5 -0,16 0,16 -0,0256 \\
20,34 16,7 1,68 1,36 2,2848 \\
21,7 17,3 3,04 1,96 5,9504 \\
23,5 20 4,84 4,66 22,5636 \\
\hline
\end{array}
$

Теперь суммируем значения:
$
\sum (xi - \bar{x})(yi - \bar{y}) \approx 13,694 + 7,7984 + 5,5144 - 0,0256 + 2,2848 + 5,9504 + 22,5636 \approx 53,785
$
$
\sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 16,81 + 8,7616 + 5,5696 + 0,0256 + 2,8224 + 9,2416 + 23,4256 \approx 66,6352
$

Теперь можем найти $b_1$:
$
b_1 = \frac{53,785}{66,6352} \approx 0,807
$

Теперь найдем $b_0$:
$
b_0 = 15,34 - 0,807 \cdot 18,66 \approx 15,34 - 15,063 \approx 0,277
$

Таким образом, уравнение регрессии:
$
y = 0,277 + 0,807x
$

Шаг 2: Рассчита...

Коэффициент корреляции $r$ можно найти по формуле:

$$r = \frac{\sum (xi - \bar{y})}{\sqrt{\sum (xi - \bar{y})^2}}$$

Сначала найдем $\sum (y_i - \bar{y})^2$:

$$\sum (y_i - \bar{y})^2 \approx 11,1856 + 6,9696 + 5,4596 + 0,0256 + 2,0496 + 3,8416 + 21,1856 \approx 50,716$$

Теперь можем найти $r$:

$$r = \frac{53,785}{\sqrt{66,6352 \cdot 50,716}} \approx \frac{53,785}{\sqrt{3370,87}} \approx \frac{53,785}{58,063} \approx 0,925$$

Коэффициент детерминации:

$$R^2 = r^2 \approx 0,925^2 \approx 0,8556$$

Средняя ошибка аппроксимации $A$:

A = \sqrt{\frac{\sum (yi})^2}{n - 2}}

где \hat{y0 + bi.

Теперь подставим значения и рассчитаем $A$.

Для этого нужно рассчитать $F$-статистику:

$$F = \frac{MSR}{MSE}$$

где $MSR$ - средняя квадратичная ошибка регрессии, $MSE$ - средняя квадратичная ошибка.

Для завершения всех шагов, пожалуйста, дайте знать, если вам нужно продолжить с конкретным шагом или если у вас есть вопросы по предыдущим шагам.