Решить задачу симплекс-методом: Максимизировать: z =5 x1 + 1 x2 + 1 x3 При ограничениях: 9 x1 + 8 x2 + 2 x3 <= 6 2 x1 + 6 x2 + 3 x3 <= 13 x >= 0

Для решения задачи линейного программирования с помощью симплекс-метода, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Запись задачи в стандартной форме

Наша задача максимизировать функцию:
\[ z = 5x1...2 + 1x_3 \] При ограничениях: 1. \( 9x2 + 2x_3 \leq 6 \) 2. \( 2x2 + 3x_3 \leq 13 \) 3. \( x2, x_3 \geq 0 \) Для приведения ограничений к стандартной форме, добавим вспомогательные переменные \( s2 \): 1. \( 9x2 + 2x1 = 6 \) 2. \( 2x2 + 3x2 = 13 \) Теперь мы можем записать целевую функцию в терминах новых переменных: \[ z = 5x2 + 1x1 + 0s_2 \] Составим начальную симплекс-таблицу. В ней будут указаны коэффициенты целевой функции и ограничения: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Базис} x2 x1 s_2 \text{Решение} \\ \hline s_1 9 8 2 1 0 6 \\ s_2 2 6 3 0 1 13 \\ \hline -z -5 -1 -1 0 0 0 \\ \hline \end{array} \] Находим наиболее отрицательный коэффициент в строке \(-z\). Наименьший коэффициент -5 (при \(x1\) будет входящей переменной. Для определения выходящей переменной, рассчитываем отношение Решение к коэффициенту входящей переменной \(x_1\): 1. Для \(s_1\): \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \) 2. Для \(s_2\): \( \frac{13}{2} = 6.5 \) Наименьшее отношение - \(\frac{2}{3}\), следовательно, выходящей переменной будет \(s_1\). Теперь мы обновим таблицу, используя метод Гаусса для приведения к новой базисной переменной. 1. Делим строку \(s_1\) на 9: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline s_1 1 \frac{8}{9} \frac{2}{9} \frac{1}{9} 0 \frac{2}{3} \\ \hline s_2 2 6 3 0 1 13 \\ \hline -z -5 -1 -1 0 0 0 \\ \hline \end{array} \] 2. Обновляем строку \(s_2\) и строку \(-z\): - Для \(s2 - 2 \cdot s_1\) - Для \(-z\): \(-z + 5 \cdot s_1\) После обновления получаем: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Базис} x2 x1 s_2 \text{Решение} \\ \hline x_1 1 \frac{8}{9} \frac{2}{9} \frac{1}{9} 0 \frac{2}{3} \\ s_2 0 \frac{10}{9} \frac{19}{9} -\frac{2}{9} 1 \frac{35}{9} \\ \hline -z 0 \frac{35}{9} \frac{37}{9} \frac{5}{9} 0 \frac{10}{3} \\ \hline \end{array} \] Теперь повторяем процесс, выбирая новую входящую переменную. Находим наименьший коэффициент в строке \(-z\). Наименьший коэффициент \(\frac{35}{9}\) (при \(x_2\)). Следовательно, \(x_2\) будет входящей переменной. Аналогично определяем выходящую переменную, обновляем таблицу и продолжаем до тех пор, пока все коэффициенты в строке \(-z\) не станут неотрицательными. После нескольких итераций, когда все коэффициенты в строке \(-z\) станут неотрицательными, мы получим оптимальное решение. В конечном итоге, мы получим значения переменных \(x2\), \(x_3\) и максимальное значение \(z\). Оптимальное решение задачи будет найдено в последней симплекс-таблице, где значения переменных и максимальное значение функции \(z\) будут указаны.