Найти оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра по выборке (X1, . . . , Xn) из заданного семейства распределений. Проверить ее состоятельность. Плотность распределения равна f(t) = 3t2θ^(−3), при t ∈ [0; θ] И f(t) = 0, при t ∉ [0; θ]

Для нахождения оценки максимального правдоподобия (ОМП) неизвестного параметра θ по выборке (X1, ..., Xn) из заданного семейства распределений, сл...

Дано распределение с плотностью: \[ f(t) = 3t^2 \theta^{-3}, \quad t \in [0; \theta] \] \[ f(t) = 0, \quad t \notin [0; \theta] \] Для выборки \( X2, \ldots, X_n \), функция правдоподобия \( L(\theta) \) будет равна произведению плотностей для всех наблюдений: \[ L(\theta) = \prodi) = \prodi^2 \theta^{-3} = 3^n \theta^{-3n} \prodi^2 \] при условии, что \( \max(Xi) \geq 0 \). Для удобства работы, возьмем логарифм функции правдоподобия: \[ \log L(\theta) = n \log(3) - 3n \log(\theta) + 2 \sumi) \] Теперь найдем производную логарифма функции правдоподобия по θ и приравняем её к нулю: \[ \frac{d}{d\theta} \log L(\theta) = -\frac{3n}{\theta} \] Приравниваем к нулю: \[ -\frac{3n}{\theta} = 0 \] Это уравнение не имеет решения для θ, но мы можем заметить, что функция правдоподобия возрастает при увеличении θ. Таким образом, максимальное значение θ будет достигнуто при максимальном значении выборки. Следовательно, оценка максимального правдоподобия для θ будет равна: \[ \hat{\theta} = \max(X2, \ldots, X_n) \] Чтобы проверить состоятельность оценки, нужно показать, что \( \hat{\theta} \) сходится по вероятности к истинному значению θ при увеличении n. Заметим, что: \[ \hat{\theta} = \max(X2, \ldots, X_n) \] Согласно свойствам максимума, при увеличении n, максимальное значение выборки будет стремиться к θ. Для формального доказательства, используем распределение максимума. Поскольку \( X_i \) распределены на отрезке [0, θ], то: \[ P(\hat{\theta} \epsilon) = P(\max(X2, \ldots, X1 \epsilon)^n = \left(\frac{\epsilon^3}{\theta^3}\right)^n \] При \( n \to \infty \) и \( \epsilon \to \theta \), вероятность стремится к 0, что показывает, что \( \hat{\theta} \) сходится к θ. Таким образом, оценка максимального правдоподобия для θ равна: \[ \hat{\theta} = \max(X2, \ldots, X_n) \] и она является состоятельной.