Найти оценку максимального правдоподобия неизвестного параметра по выборке (X1, . . . , Xn) из заданного семейства распределений. Проверить ее состоятельность. Плотность распределения равна f(t) = 3t2θ^(−3), при t ∈ [0; θ] И f(t) = 0, при t ∉ [0; θ]

Для нахождения оценки максимального правдоподобия (ОМП) неизвестного параметра θ по выборке (X1, ..., Xn) из заданного семейства распределений, сл...

Дано распределение с плотностью:

$$f(t) = 3t^2 \theta^{-3}, \quad t \in [0; \theta]$$

$$f(t) = 0, \quad t \notin [0; \theta]$$

Для выборки $X2, \ldots, X_n$, функция правдоподобия $L(\theta)$ будет равна произведению плотностей для всех наблюдений:

$$L(\theta) = \prodi) = \prodi^2 \theta^{-3} = 3^n \theta^{-3n} \prodi^2$$

при условии, что $\max(Xi) \geq 0$.

Для удобства работы, возьмем логарифм функции правдоподобия:

$$\log L(\theta) = n \log(3) - 3n \log(\theta) + 2 \sumi)$$

Теперь найдем производную логарифма функции правдоподобия по θ и приравняем её к нулю:

$$\frac{d}{d\theta} \log L(\theta) = -\frac{3n}{\theta}$$

Приравниваем к нулю:

$$-\frac{3n}{\theta} = 0$$

Это уравнение не имеет решения для θ, но мы можем заметить, что функция правдоподобия возрастает при увеличении θ. Таким образом, максимальное значение θ будет достигнуто при максимальном значении выборки.

Следовательно, оценка максимального правдоподобия для θ будет равна:

$$\hat{\theta} = \max(X2, \ldots, X_n)$$

Чтобы проверить состоятельность оценки, нужно показать, что $\hat{\theta}$ сходится по вероятности к истинному значению θ при увеличении n.

Заметим, что:

$$\hat{\theta} = \max(X2, \ldots, X_n)$$

Согласно свойствам максимума, при увеличении n, максимальное значение выборки будет стремиться к θ.

Для формального доказательства, используем распределение максимума. Поскольку $X_i$ распределены на отрезке [0, θ], то:

$$P(\hat{\theta} \epsilon) = P(\max(X2, \ldots, X1 \epsilon)^n = \left(\frac{\epsilon^3}{\theta^3}\right)^n$$

При $n \to \infty$ и $\epsilon \to \theta$, вероятность стремится к 0, что показывает, что $\hat{\theta}$ сходится к θ.

Таким образом, оценка максимального правдоподобия для θ равна:

$$\hat{\theta} = \max(X2, \ldots, X_n)$$

и она является состоятельной.