Задача 1 Пусть по данным бюджетного обследования случайно выбранных семей изучалась зависимость накопления у от дохода х,, расходов на питание х2 и стоимости имущества х. Исходные данные (y.e.): X1 40 55 45 30 30 60 50 x2 10 15 12 8 10 20 15 X3 60 40 40

Для решения данной задачи мы будем использовать методы линейной регрессии. Давайте пройдемся по каждому пункту шаг за шагом.

Шаг 1: Оценка коэффициентов линейной ...

У нас есть три независимых переменных: доход \(X2\) и стоимость имущества \(X_3\). Мы будем использовать метод наименьших квадратов для оценки коэффициентов линейной регрессии. Общее уравнение линейной регрессии имеет вид: \[ Y = \beta1 X2 X3 X_3 \] Где: - \(Y\) — зависимая переменная (накопления) - \(\beta_0\) — свободный член - \(\beta2, \beta1, X3\) Для нахождения коэффициентов мы можем использовать формулы для множественной линейной регрессии. Однако, для упрощения, мы можем использовать статистические пакеты (например, Python, R, Excel и т.д.), чтобы получить эти коэффициенты. Для оценки значимости коэффициентов мы можем использовать t-критерий. Для каждого коэффициента \(\beta_i\) мы можем рассчитать t-статистику: \[ ti}}{SE(\hat{\beta_i})} \] Где \(SE(\hat{\beta_i})\) — стандартная ошибка коэффициента. Если t-статистика больше критического значения из таблицы t-распределения, то коэффициент считается значимым. Коэффициент детерминации \(R^2\) показывает, какая доля вариации зависимой переменной объясняется независимыми переменными. Он рассчитывается по формуле: \[ R^2 = 1 - \frac{SS{tot}} \] Где: - \(SS_{res}\) — сумма квадратов остатков - \(SS_{tot}\) — общая сумма квадратов Скорректированный \(R^2\) учитывает количество независимых переменных и рассчитывается по формуле: \[ R^2_{adj} = 1 - \left(1 - R^2\right) \frac{n - 1}{n - k - 1} \] Где \(n\) — количество наблюдений, \(k\) — количество независимых переменных. F-критерий используется для проверки значимости всей модели. Он рассчитывается по формуле: \[ F = \frac{MS{res}} \] Где: - \(MS_{reg}\) — средняя квадратичная ошибка регрессии - \(MS_{res}\) — средняя квадратичная ошибка остатков Если рассчитанное значение F больше критического значения из таблицы F-распределения, то модель считается значимой. Наиболее значимые факторы можно определить по значимости их коэффициентов (пункт 2). Также можно использовать стандартные ошибки и t-статистики для сравнения. Факторы с наибольшими t-статистиками будут наиболее значимыми. Для выполнения всех расчетов, включая оценку коэффициентов, t-статистик, \(R^2\), F-критерий и выявление значимых факторов, рекомендуется использовать статистическое программное обеспечение. Если у вас есть доступ к таким инструментам, вы сможете быстро и точно получить все необходимые значения.