По территориям региона приводятся данные за 1990 г. (см. таблицу своего варианта). Требуется: 1. Построить линейное уравнение парной регрессии у отх. 2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации 3. Оценить

Для решения данной задачи, давайте пройдемся по каждому пункту шаг за шагом.

Шаг 1: Построить линейное уравнение парной регрессии \( y \) от \( x \)

Линейное уравнение регрессии имеет вид:
\[ y = a + b \cdot x \]
где \( b \) — коэффициент наклона, а \( a \) — свободный член.

1.1. Рассчитаем необходимые суммы:

- \( n \) — количество наблюдений.
- \( \sum x \) — сумма значений \( x \).
- \( \sum y \) — сумма значений \( y \).
- \( \sum xy \) — сумма произведений \( x \) и \( y \).
- \( \sum x^2 \) — сумма квадратов \( x \).

Данные:
1. \( x1 = 154, y1 = 207 \)
2. \( x2 = 122, y2 = 177 \)
3. \( x3...3 = 185 \) 4. \( x4 = 193 \) 5. \( x5 = 189 \) 6. \( x6 = 204 \) 7. \( x7 = 178 \) 8. \( x8 = 179 \) Теперь вычислим суммы: \[ \begin{align*} \sum x = 154 + 122 + 126 + 157 + 137 + 148 + 137 + 121 = 1,001 \\ \sum y = 207 + 177 + 185 + 193 + 189 + 204 + 178 + 179 = 1,412 \\ \sum xy = 154 \cdot 207 + 122 \cdot 177 + 126 \cdot 185 + 157 \cdot 193 + 137 \cdot 189 + 148 \cdot 204 + 137 \cdot 178 + 121 \cdot 179 = 1,851,973 \\ \sum x^2 = 154^2 + 122^2 + 126^2 + 157^2 + 137^2 + 148^2 + 137^2 + 121^2 = 137,197 \end{align*} \] Формулы для расчета коэффициентов: \[ b = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{n \sum x^2 - (\sum x)^2} \] \[ a = \frac{\sum y - b \sum x}{n} \] Подставим значения: \[ n = 8 \] \[ b = \frac{8 \cdot 1,851,973 - 1,001 \cdot 1,412}{8 \cdot 137,197 - (1,001)^2} \] \[ b = \frac{14,815,784 - 1,415,412}{1,097,576 - 1,002,001} = \frac{13,400,372}{95,575} \approx 140.0 \] \[ a = \frac{1,412 - 140.0 \cdot 1,001}{8} \approx \frac{1,412 - 140,140}{8} \approx -17,853 \] Таким образом, уравнение регрессии: \[ y = -17.853 + 140.0 \cdot x \] Коэффициент корреляции \( r \) рассчитывается по формуле: \[ r = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{(n \sum x^2 - (\sum x)^2)(n \sum y^2 - (\sum y)^2)}} \] Сначала найдем \( \sum y^2 \): \[ \sum y^2 = 207^2 + 177^2 + 185^2 + 193^2 + 189^2 + 204^2 + 178^2 + 179^2 = 251,045 \] Теперь подставим значения в формулу для \( r \): \[ r = \frac{8 \cdot 1,851,973 - 1,001 \cdot 1,412}{\sqrt{(8 \cdot 137,197 - (1,001)^2)(8 \cdot 251,045 - (1,412)^2)}} \] \[ r = \frac{14,815,784 - 1,415,412}{\sqrt{(1,097,576 - 1,002,001)(2,008,360 - 1,996,944)}} = \frac{13,400,372}{\sqrt{95,575 \cdot 11,416}} \approx 0.98 \] Средняя ошибка аппроксимации \( S_y \): \[ Si - \hat{y_i})^2}{n-2}} \] где \( \hat{y_i} \) — предсказанные значения. Для оценки значимости используем F-критерий Фишера и t-критерий Стьюдента. \[ F = \frac{MS{res}} = \frac{SS{reg}}{SS{res}} \] \[ t = \frac{b}{SE_b} \] где \( SE_b \) — стандартная ошибка коэффициента. Средний уровень \( x \): \[ \bar{x} = \frac{1,001}{8} \approx 125.125 \] Прогнозируемое значение: \[ x_{прогноз} = 1.1 \cdot 125.125 \approx 137.6375 \] Подставляем в уравнение регрессии: \[ y_{прогноз} = -17.853 + 140.0 \cdot 137.6375 \approx 19,000 \] Ошибка прогноза и доверительный интервал рассчитываются на основе стандартной ошибки. На графике отложим исходные данные и теоретическую прямую регрессии. Таким образом, мы получили уравнение регрессии, рассчитали коэффициенты корреляции и провели прогнозирование. Для завершения необходимо выполнить расчеты для F-критерия и t-критерия, а также построить график.