2. Решить симплекс-методом egin{array}{l}f(x)=x1-x2 longrightarrow{}max -x1+2x2>=4 3×1+2×2×<=14 x1,x2>=0end{array}

Для решения задачи линейного программирования с помощью симплекс-метода, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Приведение задачи к стандартному виду

У нас есть следующая задача:

$
\begin{array}{l}
f(x) = x1 - x2 \quad \longrightarrow \max \\
-x1 + 2x2 \geq 4 \\
3x1 + 2x2 \leq 14 \\
x1...2 \geq 0 \end{array} $

Для того чтобы привести неравенства к стандартному виду, добавим вспомогательные переменные.

1. Преобразуем первое неравенство в равенство, добавив вспомогательную переменную (s_1):

   $$-x2 - s1 \geq 0)$$

2. Преобразуем второе неравенство в равенство, добавив вспомогательную переменную (s_2):

   $$3x2 + s2 \geq 0)$$

Теперь наша задача выглядит так:

$$\begin{array}{l} f(x) = x2 \quad \longrightarrow \max \\ -x2 - s_1 = 4 \\ 3x2 + s_2 = 14 \\ x2, s2 \geq 0 \end{array}$$

Перепишем функцию цели, чтобы выразить её через вспомогательные переменные:

$$f(x) = x2 + 0s2 \quad \longrightarrow \max$$

Составим начальную симплекс-таблицу:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Базис} x2 s2 \text{Решение} \\ \hline s_1 -1 2 -1 0 4 \\ s_2 3 2 0 1 14 \\ \hline f -1 1 0 0 0 \\ \hline \end{array}$$

1. Находим переменную, которая будет входить в базис. Выбираем переменную с наибольшим отрицательным коэффициентом в строке функции цели. В данном случае это (x_1) (коэффициент -1).

2. Теперь определим выходящую переменную, используя правило минимального отношения. Рассчитаем отношение для каждой строки:

   • Для строки (s_1): $\frac{4}{1} = 4$
   • Для строки (s_2): $\frac{14}{3} \approx 4.67$

   Выходящей переменной будет (s_1), так как у неё меньшее отношение.

Теперь обновим таблицу, используя метод Гаусса для приведения к новой базисной переменной:

1. Делим строку (s1)).
2. Обновляем остальные строки, чтобы сделать коэффициенты в столбце (x_1) равными нулю.

После выполнения этих операций, получаем новую таблицу:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Базис} x2 s2 \text{Решение} \\ \hline x_1 1 -2 1 0 4 \\ s_2 0 8 -3 1 2 \\ \hline f 0 -1 1 0 4 \\ \hline \end{array}$$

Теперь снова ищем переменную для входа в базис. Это будет (x_2) (коэффициент -1).

Снова применяем правило минимального отношения:

• Для строки (x_1): $\frac{4}{2} = 2$
• Для строки (s_2): $\frac{2}{8} = 0.25$

Выходящей переменной будет (s_2).

Обновляем таблицу:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Базис} x2 s2 \text{Решение} \\ \hline x_1 1 0 1 -0.25 2 \\ x_2 0 1 -0.375 0.125 0.25 \\ \hline f 0 0 0.625 0.25 4.5 \\ \hline \end{array}$$

Теперь все коэффициенты в строке функции цели неотрицательны, что означает, что мы достигли оптимального решения.

Оптимальное значение функции (f(x)) равно 4.5, при этом:

• (x_1 = 2)
• (x_2 = 0.25)

Таким образом, решение задачи:

$$\begin{array}{l} \text{Максимальное значение } f(x) = 4.5 \\ x2 = 0.25 \end{array}$$