Активы банка (млн руб): 866, 328, 207, 185, 109, 104, 327, 113, 91, 899 Прибыль банка (млн руб): 39.6, 17.8, 12.8, 14.9, 4, 15.5, 6.4, 10.1, 3.4, 13.4 Определить уравнение регрессии, коэффициент корреляции, сделать вывод

Для решения задачи, давайте последовательно выполним следующие шаги:

Шаг 1: Подготовка данных

У нас есть два набора данных:
- Активы банка (X): 866, 328, 207, 185, 109, 104, 327, 113, 91, 899
- Прибыль банка (Y): 39.6, 17.8, 12.8, 14.9, 4, 15.5, 6.4, 10.1, 3.4, 13.4

Шаг...

Нам нужно вычислить следующие значения: - Средние значения X и Y - Суммы произведений X и Y - Суммы квадратов X и Y \[ \bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{866 + 328 + 207 + 185 + 109 + 104 + 327 + 113 + 91 + 899}{10} = \frac{2930}{10} = 293 \] \[ \bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{39.6 + 17.8 + 12.8 + 14.9 + 4 + 15.5 + 6.4 + 10.1 + 3.4 + 13.4}{10} = \frac{142.7}{10} = 14.27 \] \[ \sum XY = 866 \cdot 39.6 + 328 \cdot 17.8 + 207 \cdot 12.8 + 185 \cdot 14.9 + 109 \cdot 4 + 104 \cdot 15.5 + 327 \cdot 6.4 + 113 \cdot 10.1 + 91 \cdot 3.4 + 899 \cdot 13.4 \] Вычислим каждое произведение и затем их сумму: - \( 866 \cdot 39.6 = 34293.6 \) - \( 328 \cdot 17.8 = 5834.4 \) - \( 207 \cdot 12.8 = 2649.6 \) - \( 185 \cdot 14.9 = 2751.5 \) - \( 109 \cdot 4 = 436 \) - \( 104 \cdot 15.5 = 1612 \) - \( 327 \cdot 6.4 = 2092.8 \) - \( 113 \cdot 10.1 = 1141.3 \) - \( 91 \cdot 3.4 = 309.4 \) - \( 899 \cdot 13.4 = 12006.6 \) Суммируем: \[ \sum XY = 34293.6 + 5834.4 + 2649.6 + 2751.5 + 436 + 1612 + 2092.8 + 1141.3 + 309.4 + 12006.6 = 58525.2 \] \[ \sum X^2 = 866^2 + 328^2 + 207^2 + 185^2 + 109^2 + 104^2 + 327^2 + 113^2 + 91^2 + 899^2 \] Вычислим каждое квадрат и затем их сумму: - \( 866^2 = 750756 \) - \( 328^2 = 107584 \) - \( 207^2 = 42849 \) - \( 185^2 = 34225 \) - \( 109^2 = 11881 \) - \( 104^2 = 10816 \) - \( 327^2 = 106929 \) - \( 113^2 = 12769 \) - \( 91^2 = 8281 \) - \( 899^2 = 808201 \) Суммируем: \[ \sum X^2 = 750756 + 107584 + 42849 + 34225 + 11881 + 10816 + 106929 + 12769 + 8281 + 808201 = 1000000 \] Коэффициенты регрессии \( a \) и \( b \) можно вычислить по следующим формулам: \[ b = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2} \] \[ a = \bar{Y} - b\bar{X} \] Подставим значения: - \( n = 10 \) - \( \sum X = 2930 \) - \( \sum Y = 142.7 \) Вычислим \( b \): \[ b = \frac{10 \cdot 58525.2 - 2930 \cdot 142.7}{10 \cdot 1000000 - (2930)^2} \] \[ b = \frac{585252 - 418291}{10000000 - 8584900} = \frac{166961}{1415100} \approx 0.118 \] Теперь вычислим \( a \): \[ a = 14.27 - 0.118 \cdot 293 \approx 14.27 - 34.54 \approx -20.27 \] Уравнение регрессии имеет вид: \[ Y = a + bX \] Подставим найденные значения: \[ Y = -20.27 + 0.118X \] Коэффициент корреляции \( r \) можно вычислить по формуле: \[ r = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n\sum X^2 - (\sum X)^2][n\sum Y^2 - (\sum Y)^2]}} \] Для этого нам нужно также вычислить \( \sum Y^2 \): \[ \sum Y^2 = 39.6^2 + 17.8^2 + 12.8^2 + 14.9^2 + 4^2 + 15.5^2 + 6.4^2 + 10.1^2 + 3.4^2 + 13.4^2 \] Вычислим каждое квадрат и затем их сумму: - \( 39.6^2 = 1568.16 \) - \( 17.8^2 = 316.84 \) - \( 12.8^2 = 163.84 \) - \( 14.9^2 = 222.01 \) - \( 4^2 = 16 \) - \( 15.5^2 = 240.25 \) - \( 6.4^2 = 40.96 \) - \( 10.1^2 = 102.01 \) - \( 3.4^2 = 11.56 \) - \( 13.4^2 = 179.56 \) Суммируем: \[ \sum Y^2 = 1568.16 + 316.84 + 163.84 + 222.01 + 16 + 240.25 + 40.96 + 102.01 + 11.56 + 179.56 = 2659.63 \] Теперь подставим все значения в формулу для \( r \): \[ r = \frac{10 \cdot 58525.2 - 2930 \cdot 142.7}{\sqrt{[10 \cdot 1000000 - (2930)^2][10 \cdot 2659.63 - (142.7)^2]}} \] Вычислим: \[ r = \frac{585252 - 418291}{\sqrt{[10000000 - 8584900][26596.3 - 20363.29]}} = \frac{166961}{\sqrt{1415100 \cdot 6233.01}} \approx \frac{166961}{\sqrt{8840000000}} \approx \frac{166961}{29733.3} \approx 0.56 \] Уравнение регрессии: \[ Y = -20.27 + 0.118X \] Коэффициент корреляции: \[ r \approx 0.56 \] Это указывает на умеренную положительную связь между активами банка и его прибылью. Таким образом, увеличение активов банка связано с увеличением прибыли, но связь не является очень сильной.