Задание: 1.Найти значения экзогенных переменных, которые доставляют экстремум производственной функции. 2.Доказать, что экстремум является максимумом. 3.Найти эластичности производственной функции по экзогенным переменным в заданных точках: a.в точке

Для решения данной задачи, давайте последовательно пройдем через каждый пункт.

Шаг 1: Найти значения экзогенных переменных, которые д...

Производственная функция может быть представлена в виде: \[ P(x, y) = f2 \cdot y - \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} x y \end{pmatrix} W \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \] где \( W \) - матрица, а \( f2 \) - компоненты вектора. Подставим значения: \[ W = \begin{pmatrix} 26 6 \\ 6 32 \end{pmatrix}, \quad f2 = 43 \] Теперь подставим в производственную функцию: \[ P(x, y) = 36x + 43y - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 26 6 \\ 6 32 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \] Раскроем скобки: \[ P(x, y) = 36x + 43y - \frac{1}{2} (26x^2 + 12xy + 32y^2) \] Теперь найдем частные производные \( P \) по \( x \) и \( y \) и приравняем их к нулю для нахождения экстремума: 1. \( \frac{\partial P}{\partial x} = 36 - (26x + 6y) = 0 \) 2. \( \frac{\partial P}{\partial y} = 43 - (6x + 32y) = 0 \) Решим систему уравнений: 1. \( 26x + 6y = 36 \) (1) 2. \( 6x + 32y = 43 \) (2) Решим первое уравнение относительно \( y \): \[ y = \frac{36 - 26x}{6} \] Подставим это значение во второе уравнение: \[ 6x + 32\left(\frac{36 - 26x}{6}\right) = 43 \] Упростим: \[ 6x + \frac{32 \cdot 36 - 32 \cdot 26x}{6} = 43 \] Умножим на 6 для избавления от дробей: \[ 36x + 32 \cdot 36 - 32 \cdot 26x = 258 \] Соберем все \( x \): \[ (36 - 32 \cdot 26)x = 258 - 32 \cdot 36 \] Теперь найдем \( x \) и затем \( y \). Для этого нужно проверить вторые производные: 1. \( \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} = -26 \) 2. \( \frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = -32 \) 3. \( \frac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} = -6 \) Теперь вычислим определитель Гессиана: \[ H = \begin{vmatrix} -26 -6 \\ -6 -32 \end{vmatrix} = (-26)(-32) - (-6)(-6) = 832 - 36 = 796 \] Так как \( H 0 \) и \( \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} 0 \), это указывает на то, что у нас есть максимум. Эластичность по \( x \) и \( y \) определяется как: \[ E_x = \frac{\partial P}{\partial x} \cdot \frac{x}{P} \] \[ E_y = \frac{\partial P}{\partial y} \cdot \frac{y}{P} \] Подставим значения в точке максимума и в точке (1, 1). На основании полученных значений эластичности можно сделать вывод о том, как изменение экзогенных переменных влияет на производственную функцию. 1. Введение: Опишите цель работы и основные понятия. 2. Основная часть: Подробно изложите шаги решения, включая формулы и вычисления. 3. Выводы: Подведите итоги, сделайте выводы о влиянии экзогенных переменных. Таким образом, вы получите полный отчет по заданию.