Задание: 1.Найти значения экзогенных переменных, которые доставляют экстремум производственной функции. 2.Доказать, что экстремум является максимумом. 3.Найти эластичности производственной функции по экзогенным переменным в заданных точках: a.в точке

Для решения данной задачи, давайте последовательно пройдем через каждый пункт.

Шаг 1: Найти значения экзогенных переменных, которые д...

Производственная функция может быть представлена в виде:

$$P(x, y) = f2 \cdot y - \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} x y \end{pmatrix} W \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

где $W$ - матрица, а $f2$ - компоненты вектора.

Подставим значения:

$$W = \begin{pmatrix} 26 6 \\ 6 32 \end{pmatrix}, \quad f2 = 43$$

Теперь подставим в производственную функцию:

$$P(x, y) = 36x + 43y - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 26 6 \\ 6 32 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Раскроем скобки:

$$P(x, y) = 36x + 43y - \frac{1}{2} (26x^2 + 12xy + 32y^2)$$

Теперь найдем частные производные $P$ по $x$ и $y$ и приравняем их к нулю для нахождения экстремума:

1. $\frac{\partial P}{\partial x} = 36 - (26x + 6y) = 0$
2. $\frac{\partial P}{\partial y} = 43 - (6x + 32y) = 0$

Решим систему уравнений:

1. $26x + 6y = 36$ (1)
2. $6x + 32y = 43$ (2)

Решим первое уравнение относительно $y$:

$$y = \frac{36 - 26x}{6}$$

Подставим это значение во второе уравнение:

$$6x + 32\left(\frac{36 - 26x}{6}\right) = 43$$

Упростим:

$$6x + \frac{32 \cdot 36 - 32 \cdot 26x}{6} = 43$$

Умножим на 6 для избавления от дробей:

$$36x + 32 \cdot 36 - 32 \cdot 26x = 258$$

Соберем все $x$:

$$(36 - 32 \cdot 26)x = 258 - 32 \cdot 36$$

Теперь найдем $x$ и затем $y$.

Для этого нужно проверить вторые производные:

1. $\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} = -26$
2. $\frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = -32$
3. $\frac{\partial^2 P}{\partial x \partial y} = -6$

Теперь вычислим определитель Гессиана:

$$H = \begin{vmatrix} -26 -6 \\ -6 -32 \end{vmatrix} = (-26)(-32) - (-6)(-6) = 832 - 36 = 796$$

Так как $H 0$ и $\frac{\partial^2 P}{\partial x^2} 0$, это указывает на то, что у нас есть максимум.

Эластичность по $x$ и $y$ определяется как:

$$E_x = \frac{\partial P}{\partial x} \cdot \frac{x}{P}$$

$$E_y = \frac{\partial P}{\partial y} \cdot \frac{y}{P}$$

Подставим значения в точке максимума и в точке (1, 1).

На основании полученных значений эластичности можно сделать вывод о том, как изменение экзогенных переменных влияет на производственную функцию.

1. Введение: Опишите цель работы и основные понятия.
2. Основная часть: Подробно изложите шаги решения, включая формулы и вычисления.
3. Выводы: Подведите итоги, сделайте выводы о влиянии экзогенных переменных.

Таким образом, вы получите полный отчет по заданию.