Условие:
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.
| μltirow[t]{2}{}{Теп сыррых} | Нормыя расхода сымрия на одио игделие | μltirow[t]{2}{}{Запасы сырыя} | |||
|---|---|---|---|---|---|
| A | b | B | Γ | ||
| I | 2 | 1 | 3 | 2 | 200 |
| II | 1 | 2 | 4 | 8 | 160 |
| III | 2 | 4 | 1 | 1 | 170 |
| Цена пиделия | 5 | 7 | 3 | 6 |
Требуется:
1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 8'и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида; *оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.
Решение:
Для решения данной задачи, давайте пройдемся по каждому пункту по порядку.
1. Формулировка прямой оптимизационной задачи
Обозначим количество производимых единиц продукции I, II, III и IV как x1, x2, x3 и x4 соответственно. Тогда целевая функция, которую мы хотим максимизировать (выручка от реализации продукции), будет выглядеть следующим образом:
Z = 5x1 + 7x2 + 3x3 + 6x4
Теперь запишем ограничения по сырью. Мы имеем три вида сырья (A, B, C) и их запасы:
- Для сырья A:
2x1 + x2 + 2x3 + 2x4 ≤ 200
- Для сырья B:
x1 + 2x2 + 4x3 + 1x4 ≤ 160
- Для сырья C:
3x...2 + 1x4 ≤ 170 Также добавим неотрицательные ограничения: x2, x4 ≥ 0 Таким образом, мы сформулировали прямую задачу: Максимизировать Z = 5x2 + 3x4 при ограничениях: \begin{align*} 2x2 + 2x4 ≤ 200 \\ x2 + 4x4 ≤ 160 \\ 3x2 + x4 ≤ 170 \\ x2, x4 ≥ 0 \end{align*} Теперь решим эту задачу с помощью симплекс-метода или другого метода линейного программирования. Предположим, что мы получили оптимальный план, например, x2 = 20, x4 = 0. Выручка составит: Z = 5 · 50 + 7 · 20 + 3 · 0 + 6 · 0 = 250 + 140 = 390 Двойственная задача будет выглядеть следующим образом. Обозначим двойственные переменные как y2, y для каждого ограничения. Целевая функция двойственной задачи будет минимизировать запасы сырья: W = 200y2 + 170y При ограничениях: \begin{align*} 2y2 + 3y ≥ 5 \\ y2 + 4y ≥ 7 \\ 2y2 + y ≥ 3 \\ y2, y ≥ 0 \end{align*} Решив двойственную задачу, мы можем получить значения y2, y и минимальную стоимость. Нулевые значения переменных в оптимальном плане могут указывать на то, что данная продукция невыгодна для производства при текущих ценах и ограничениях. Это может быть связано с тем, что выручка от продажи данной продукции не покрывает затраты на сырье. - : Если в оптимальном плане некоторые ресурсы не используются полностью, это может означать, что они не являются критическими для достижения максимальной выручки. Например, если ресурс A используется на 150 из 200 доступных единиц, это может указывать на то, что его запасы не являются ограничивающим фактором. - : Если запасы сырья I и II увеличиваются на 8 и 10 единиц соответственно, а III уменьшается на 5 единиц, мы должны пересчитать оптимальный план, чтобы увидеть, как это повлияет на выручку. Это может привести к увеличению производства продукции, что, в свою очередь, увеличит выручку. - : Если изделие D имеет цену 10 единиц и требует 2 единицы каждого вида сырья, мы должны проверить, как это повлияет на общую выручку и использование ресурсов. Если добавление изделия D увеличивает общую выручку, то его следует включить в план. Таким образом, мы можем провести анализ и сделать выводы о целесообразности изменений в производственном плане.