Доверительный интервал Исходные данные. В регионе исследованы выручка и прибыль сельскохозяйственных организаций в количестве 6 единиц. Получены следующие данные (таблица 1). Таблица 1 Данные прибыли и выручки по сельскохозяйственным организациям, млн.

Для решения задачи о расчете 95%-ных доверительных интервалов для средних значений выручки и прибыли, а также для проверки, превышает ли выру...

Сначала найдем средние значения выручки и прибыли.

$$\text{Средняя выручка} = \frac{2.3 + 2.5 + 5.6 + 7.8 + 1.5 + 4.7}{6} = \frac{24.4}{6} \approx 4.067 \text{ млн. руб.}$$

$$\text{Средняя прибыль} = \frac{0.5 + 0.8 + 1.4 + 2.3 + 0.2 + 0.7}{6} = \frac{5.9}{6} \approx 0.983 \text{ млн. руб.}$$

Теперь найдем стандартное отклонение для выручки и прибыли.

1. Находим отклонения от среднего:

   • $(2.3 - 4.067)^2 \approx 2.792$
   • $(2.5 - 4.067)^2 \approx 2.463$
   • $(5.6 - 4.067)^2 \approx 2.358$
   • $(7.8 - 4.067)^2 \approx 13.299$
   • $(1.5 - 4.067)^2 \approx 6.469$
   • $(4.7 - 4.067)^2 \approx 0.398$

2. Находим среднее значение квадратов отклонений:

   $$\text{Дисперсия} = \frac{2.792 + 2.463 + 2.358 + 13.299 + 6.469 + 0.398}{6 - 1} = \frac{27.779}{5} \approx 5.556$$

3. Стандартное отклонение:

   $$\sigma = \sqrt{5.556} \approx 2.36$$

4. Находим отклонения от среднего:

   • $(0.5 - 0.983)^2 \approx 0.232$
   • $(0.8 - 0.983)^2 \approx 0.033$
   • $(1.4 - 0.983)^2 \approx 0.173$
   • $(2.3 - 0.983)^2 \approx 1.707$
   • $(0.2 - 0.983)^2 \approx 0.606$
   • $(0.7 - 0.983)^2 \approx 0.079$

5. Находим среднее значение квадратов отклонений:

   $$\text{Дисперсия} = \frac{0.232 + 0.033 + 0.173 + 1.707 + 0.606 + 0.079}{6 - 1} = \frac{2.83}{5} \approx 0.566$$

6. Стандартное отклонение:

   $$\sigma = \sqrt{0.566} \approx 0.754$$

Для 95%-ного доверительного интервала используем t-распределение, так как выборка небольшая (n=6). Для 5 степеней свободы (n-1=5) и уровня значимости 0.05, значение t (по таблице) примерно равно 2.571.

$$\text{Доверительный интервал} = \bar{x} \pm t \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 4.067 \pm 2.571 \cdot \frac{2.36}{\sqrt{6}}$$

$$= 4.067 \pm 2.571 \cdot 0.964 \approx 4.067 \pm 2.477$$

$$\approx (1.590, 6.544)$$

$$\text{Доверительный интервал} = 0.983 \pm 2.571 \cdot \frac{0.754}{\sqrt{6}}$$

$$= 0.983 \pm 2.571 \cdot 0.308 \approx 0.983 \pm 0.793$$

$$\approx (0.190, 1.776)$$

Так как нижняя граница доверительного интервала для выручки (1.590) превышает 1.5 млн. руб., можно сделать вывод, что данные дают уверенность в том, что выручка превышает 1.5 млн. руб.

1. Доверительный интервал для выручки: (1.590, 6.544) млн. руб.
2. Доверительный интервал для прибыли: (0.190, 1.776) млн. руб.
3. Данные дают уверенность в том, что выручка превышает 1.5 млн. руб.