В хозяйстве установили, что откорм животных выгоден только тогда, когда животные будут получать в дневном рационе не менее 10 ед. питательного вещества А, не менее 16 ед. вещества В и не менее 5 ед. вещества С. Для откорма животных используют два вида

Для решения задачи о минимизации затрат на корма с учетом заданных ограничений, мы можем использовать метод линейного программирования. Давайте обозначим:

• $x_1$ — количество корма I (в кг),
• ...

Наша цель — минимизировать затраты на корма. Стоимость кормов выражается следующим образом:

Теперь мы должны учесть ограничения по питательным веществам:

1. Для вещества A:

   $$1x2 \geq 10$$

2. Для вещества B:

   $$3x2 \geq 16$$

3. Для вещества C:

   $$0x2 \geq 5$$

4. Неотрицательность:

   $$x2 \geq 0$$

Теперь мы можем построить график ограничений в координатах $x2$.

1. Для первого ограничения $1x2 = 10$:

   • Если $x2 = 5$.
   • Если $x1 = 10$.

2. Для второго ограничения $3x2 = 16$:

   • Если $x2 = 8$.
   • Если $x1 = \frac{16}{3} \approx 5.33$.

3. Для третьего ограничения $3x_2 = 5$:

   • Если $x1 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения ограничений:

1. Пересечение первого и второго ограничений:

   $$\begin{cases} x2 = 10 \\ 3x2 = 16 \end{cases}$$
   Выразим $x_2$ из первого уравнения:
   x1}{2}
   Подставим во второе уравнение:
   3x1}{2}\right) = 16 \\ 3x1 = 16 \\ 2x_1 = 6 \\ x_1 = 3
   Подставим $x_1 = 3$ в первое уравнение:
   $$3 + 2x_2 = 10 \\ 2x_2 = 7 \\ x_2 = 3.5$$
   Точка пересечения: $(3, 3.5)$.

2. Пересечение второго и третьего ограничений:

   $$\begin{cases} 3x2 = 16 \\ 3x_2 = 5 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x_2 = \frac{5}{3}$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$3x_1 + 2\left(\frac{5}{3}\right) = 16 \\ 3x_1 + \frac{10}{3} = 16 \\ 3x_1 = 16 - \frac{10}{3} \\ 3x_1 = \frac{48}{3} - \frac{10}{3} \\ 3x_1 = \frac{38}{3} \\ x_1 = \frac{38}{9} \approx 4.22$$
   Точка пересечения: $\left(\frac{38}{9}, \frac{5}{3}\right)$.

Теперь мы проверим значения функции цели $Z$ в найденных точках и в точках пересечения с осями:

1. $(0, \frac{5}{3})$:

   $$Z = 5(0) + 4\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{20}{3} \approx 6.67$$

2. $(3, 3.5)$:

   $$Z = 5(3) + 4(3.5) = 15 + 14 = 29$$

3. $\left(\frac{38}{9}, \frac{5}{3}\right)$:

   $$Z = 5\left(\frac{38}{9}\right) + 4\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{190}{9} + \frac{20}{3} = \frac{190}{9} + \frac{60}{9} = \frac{250}{9} \approx 27.78$$

Наименьшее значение функции цели $Z$ достигается в точке $\left(\frac{38}{9}, \frac{5}{3}\right)$.

Таким образом, для минимизации затрат на корма необходимо использовать:

• Корм I: $\frac{38}{9}$ кг (примерно 4.22 кг),
• Корм II: $\frac{5}{3}$ кг (примерно 1.67 кг).