Задача 6 Фабрика по производству игрушек выпускает кукол и мишек. Для их производства используются поролон и ткань. Нормы расхода этих материалов, суточный запас, а также цены готовой продукции приведены в таблице. 1. Установлено, что суточный спрос на

Для решения данной задачи мы будем использовать методы линейного программирования. Начнем с первого пункта.

1. Определение плана производства для максимального дохода

Обозначим:
- \( x_1 \) — количество кукол, которое будет произведено,
- \( x_2 \) — количество мишек, которое будет произведено.

Целевая функция

Наша цель — максимизировать доход:
\[
Z = 200x1 + 300x2
\]

Огр...

У нас есть два ограничения по материалам и одно ограничение по спросу на кукол: 1. Ограничение по ткани: \[ 1x2 \leq 900 \] 2. Ограничение по поролону: \[ 2x2 \leq 800 \] 3. Ограничение по спросу на кукол: \[ x_1 \leq 300 \] 4. Неотрицательность: \[ x2 \geq 0 \] Теперь у нас есть система уравнений и неравенств, которую мы можем решить. Для нахождения оптимального решения мы можем использовать метод графического решения или симплекс-метод. В данном случае мы воспользуемся графическим методом. 1. Построим графики ограничений: - Для ткани: \( x1}{1.5} \) - Для поролона: \( x1 \) 2. Найдем точки пересечения ограничений и осей: - Пересечение ткани и поролона: \[ 1x1) = 900 \implies 1x1 = 900 \implies 2x1 = 150 \] Подставляем \( x_1 = 150 \) в одно из уравнений: \[ x_2 = 800 - 2(150) = 500 \] - Пересечение с осью \( x2 = 0 \)): \[ x_1 = 900 \quad (не подходит, так как превышает 300) \] - Пересечение с осью \( x1 = 0 \)): \[ x_2 = \frac{900}{1.5} = 600 \quad (не подходит, так как превышает 800) \] Теперь мы можем найти все допустимые точки: - \( (0, 600) \) — не подходит - \( (300, 0) \) — подходит - \( (150, 500) \) — не подходит, так как превышает запас поролона. Теперь подставим допустимые точки в целевую функцию: - Для \( (300, 0) \): \[ Z = 200 \cdot 300 + 300 \cdot 0 = 60000 \] Таким образом, оптимальный план производства: - Производить 300 кукол и 0 мишек, максимальный доход составит 60000 рублей. Если спрос на кукол возрастет до 50 штук, то ограничение по спросу изменится на: \[ x_1 \leq 50 \] Теперь проверим, как это повлияет на целевую функцию: - При \( x_1 = 50 \): \[ Z = 200 \cdot 50 + 300x_2 \] Теперь подставим в ограничения: 1. По ткани: \[ 1 \cdot 50 + 1.5x2 \leq 850 \implies x_2 \leq \frac{850}{1.5} \approx 566.67 \] 2. По поролону: \[ 2 \cdot 50 + 1x2 \leq 800 \implies x_2 \leq 700 \] Таким образом, максимальное количество мишек, которое можно произвести, будет 566 (по ткани). Подставим это значение в целевую функцию: \[ Z = 200 \cdot 50 + 300 \cdot 566 = 10000 + 169800 = 179800 \] Таким образом, при увеличении спроса на кукол до 50 штук, оптимальный план производства изменится, и максимальный доход составит 179800 рублей. Теперь у нас есть новое ограничение: \[ 2x2 \leq 900 \] Проверим, как это повлияет на оптимальное решение. Мы можем повторить процесс, как и в первом пункте, но с новым ограничением. 1. Ограничение по ткани остается прежним: \[ 1x2 \leq 900 \] 2. Новое ограничение по поролону: \[ 2x2 \leq 900 \] Теперь мы можем найти точки пересечения: - Пересечение ткани и поролона: \[ 1x1) = 900 \implies 1x1 = 900 \implies 0.5x1 = 900 \] Это не подходит, так как превышает 300. - Пересечение с осью \( x_1 \): \[ x_1 = 900 \quad (не подходит) \] - Пересечение с осью \( x_2 \): \[ x_2 = \frac{900}{1.5} = 600 \quad (не подходит) \] Таким образом, максимальное количество кукол остается 300, а количество мишек будет 0. Максимальный доход останется прежним — 60000 рублей. Чтобы оптимальный план производства остался прежним, необходимо, чтобы доход от кукол оставался выше, чем доход от мишек. Пусть цена куклы изменится на \( p \): \[ Z = px2 \] Для \( x2 = 0 \): \[ Z = 300p \] Для \( x2 = 0 \): \[ Z = 0 \] Чтобы доход от кукол был не меньше, чем от мишек, необходимо: \[ 300p \geq 300 \implies p \geq 1 \] Таким образом, цена одной куклы может колебаться от 200 рублей до 300 рублей, чтобы оптимальный план производства остался прежним. 1. Оптимальный план — 300 кукол, 0 мишек, доход 60000 рублей. 2. При спросе на 50 кукол — 50 кукол и 566 мишек, доход 179800 рублей. 3. Увеличение поролона до 900 кг не изменит решение. 4. Цена куклы может колебаться от 200 до 300 рублей.