Задача 6 Фабрика по производству игрушек выпускает кукол и мишек. Для их производства используются поролон и ткань. Нормы расхода этих материалов, суточный запас, а также цены готовой продукции приведены в таблице. 1. Установлено, что суточный спрос на

Для решения данной задачи мы будем использовать методы линейного программирования. Начнем с первого пункта.

1. Определение плана производства для максимального дохода

Целевая функция

Огр...

1. Ограничение по ткани:

   $$1x2 \leq 900$$

2. Ограничение по поролону:

   $$2x2 \leq 800$$

3. Ограничение по спросу на кукол:

   $$x_1 \leq 300$$

4. Неотрицательность:

   $$x2 \geq 0$$

Теперь у нас есть система уравнений и неравенств, которую мы можем решить.

Для нахождения оптимального решения мы можем использовать метод графического решения или симплекс-метод. В данном случае мы воспользуемся графическим методом.

1. Построим графики ограничений:

   • Для ткани: x1}{1.5}
   • Для поролона: $x1$

2. Найдем точки пересечения ограничений и осей:

   • Пересечение ткани и поролона:

     $$1x1) = 900 \implies 1x1 = 900 \implies 2x1 = 150$$
     Подставляем $x_1 = 150$ в одно из уравнений:
     $$x_2 = 800 - 2(150) = 500$$

   • Пересечение с осью $x2 = 0$):

     $$x_1 = 900 \quad (не подходит, так как превышает 300)$$

   • Пересечение с осью $x1 = 0$):

     $$x_2 = \frac{900}{1.5} = 600 \quad (не подходит, так как превышает 800)$$

Теперь мы можем найти все допустимые точки:

• $(0, 600)$ — не подходит
• $(300, 0)$ — подходит
• $(150, 500)$ — не подходит, так как превышает запас поролона.

Теперь подставим допустимые точки в целевую функцию:

• Для $(300, 0)$:
  $$Z = 200 \cdot 300 + 300 \cdot 0 = 60000$$

Таким образом, оптимальный план производства:

• Производить 300 кукол и 0 мишек, максимальный доход составит 60000 рублей.

Если спрос на кукол возрастет до 50 штук, то ограничение по спросу изменится на:

Теперь проверим, как это повлияет на целевую функцию:

• При $x_1 = 50$:
  $$Z = 200 \cdot 50 + 300x_2$$
  Теперь подставим в ограничения:

1. По ткани:
   $$1 \cdot 50 + 1.5x2 \leq 850 \implies x_2 \leq \frac{850}{1.5} \approx 566.67$$
2. По поролону:
   $$2 \cdot 50 + 1x2 \leq 800 \implies x_2 \leq 700$$

Таким образом, максимальное количество мишек, которое можно произвести, будет 566 (по ткани). Подставим это значение в целевую функцию:

Таким образом, при увеличении спроса на кукол до 50 штук, оптимальный план производства изменится, и максимальный доход составит 179800 рублей.

Теперь у нас есть новое ограничение:

Проверим, как это повлияет на оптимальное решение. Мы можем повторить процесс, как и в первом пункте, но с новым ограничением.

1. Ограничение по ткани остается прежним:

   $$1x2 \leq 900$$

2. Новое ограничение по поролону:

   $$2x2 \leq 900$$

Теперь мы можем найти точки пересечения:

• Пересечение ткани и поролона:

  $$1x1) = 900 \implies 1x1 = 900 \implies 0.5x1 = 900$$
  Это не подходит, так как превышает 300.

• Пересечение с осью $x_1$:

  $$x_1 = 900 \quad (не подходит)$$

• Пересечение с осью $x_2$:

  $$x_2 = \frac{900}{1.5} = 600 \quad (не подходит)$$

Таким образом, максимальное количество кукол остается 300, а количество мишек будет 0. Максимальный доход останется прежним — 60000 рублей.

Чтобы оптимальный план производства остался прежним, необходимо, чтобы доход от кукол оставался выше, чем доход от мишек.

Пусть цена куклы изменится на $p$:

Для $x2 = 0$:

Для $x2 = 0$:

Чтобы доход от кукол был не меньше, чем от мишек, необходимо:

Таким образом, цена одной куклы может колебаться от 200 рублей до 300 рублей, чтобы оптимальный план производства остался прежним.

1. Оптимальный план — 300 кукол, 0 мишек, доход 60000 рублей.
2. При спросе на 50 кукол — 50 кукол и 566 мишек, доход 179800 рублей.
3. Увеличение поролона до 900 кг не изменит решение.
4. Цена куклы может колебаться от 200 до 300 рублей.